Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Granica ciągu z definicji – przykłady

 

Granica ciągu Wykład 2

 

Temat:Wyznaczanie granicy ciągu z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w praktyce można „wyczuć” definicję granicy ciągu na konkretnych przykładach. Przypomnijmy sobie definicję granicy ciągu:

Definicja granicy ciągu

Liczbę g nazywamy granicą ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy:

\underset{\varepsilon >0}{\mathop \forall }\,\underset{N}{\mathop \exists }\,\underset{n>N}{\mathop \forall }\,\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon

Chodziło o to, że dla dowolnie małego, obranego z góry, epsilona (epsilon), znajdziemy taki numer wyrazu ciągu (N), że wszystkie wyrazy z kolejnymi numerami większymi od N ( n>N )  będą miały odległość od granicy g mniejszą od epsilona (\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon ) – nieważne, jak mały by ten ustalony epsilon nie był.

Trudne? No jasne, że trudne. Żeby zrozumieć, potrzeba praktyki. Zobaczymy sobie jak to działa na przykładach.

Przykład 1 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n={2n+1}/n i granicy g=2. Dla epsilona równego {epsilon}=0,017 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

W zadaniu ustaliliśmy epsilon na 0,017. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą już mniejsze od tych 0,017. Wyciągnij kalkulator, O.K.?

Najpierw bardzo powoli, namacamy sobie o co chodzi…

Nasz ciąg rozpisany wyraz po wyrazie wyglądał by tak:

a_n={2n+1}/n={2*1+1}/1,{2*2+1}/2,{2*3+1}/3,{2*4+1}/4,{2*5+1}/5,...itd.

Kolejne wyrazy otrzymuję podstawiając za na konkretne numery. Porządkując będę miał:

a_n={2n+1}/n=3/1,5/2,7/3,9/4,11/5,...itd.

Czyli:

a_n={2n+1}/n=3,2{1/2},2{1/3},2{1/4},2{1/5},...itd.

Kolejne wyrazy ciągu będą coraz „bliżej” liczby 2. Nasze zadanie to znaleźć taki numer wyrazu ciągu, od którego odległości od dwójki będą mniejsze od zadanych {epsilon}=0,017.

Z pewnością nie będzie to pierwszy wyraz. Jest on równy 3. Jego odległość od granicy (g=2) jest równa 1! To znacznie więcej od żądanego {epsilon}=0,017.

Nie będzie to także wyraz drugi ( odległość=delim{|}{2{1/2}-2}{|}=1/2, czyli mniej od {epsilon}=0,017), ani żaden z pierwszych pięciu przeze mnie wypisanych.

Nie będzie to wyraz pięćdziesiąty, bo równy on jest a_50={2*50+1}/50=101/50=2{1/50}=2{2/100}=2,02, a jego odległość od 2 równa jest 0,02, czyli wciąż więcej od zadanego {epsilon}=0,017.

Za to wyraz setny spełnia zadany warunek, bo a_100={2*100+1}/100=201/100=2{1/100}=2,01, jego odległość od dwóch jest równa 0,01, czyli jest mniejsza od 0,017. Są jednak wyrazy o mniejszych od 100 numerach, które warunek ten również spełniają. Naszym zadaniem jest znaleźć numer graniczny, od którego odległość wyrazów ciągu od 2 jest już mniejsza niż 0,017. Skoro odległość wyrazu pięćdziesiątego warunku nie spełnia, a setnego spełnia, wydaje się, że będzie to jakiś wyraz pomiędzy pięćdziesiątym, a setnym… Jak go znaleźć dokładnie?

Przypominamy sobie definicję…

\underset{\varepsilon >0}{\mathop \forall }\,\underset{N}{\mathop \exists }\,\underset{n>N}{\mathop \forall }\,\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon

I nierówność z niej…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

a_n z tej definicji to ogólny wyraz ciągu, w naszym przykładzie jest równy a_n={2n+1}/n. epsilon mamy zadany z góry {epsilon}=0,17, a granica g równa jest 2. Wstawiamy to wszystko do nierówności i mamy:

delim{|}{{2n+1}/n-2}{|}<0,017

Sprowadzamy w środku wartości bezwzględnej do wspólnego mianownika:

delim{|}{{2n+1}/n-{2n}/n}{|}<0,017

Odejmujemy i mamy:

delim{|}{{2n+1-2n}/n}{|}<0,017

Czyli:

delim{|}{1/n}{|}<0,017

Teraz trochę trudniej. Po lewej strony nierówności w środku wartości bezwzględnej mamy 1/n. To wyrażenie jest zawsze dodatnie, bo n oznacza numer wyrazu ciągu i bierzemy za niego liczby takie jak: 1, 2, 10. Czyli mamy wartość bezwzględną z liczby dodatniej. Możemy zatem ją opuścić, bo wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest zawsze dodatnia:

1/n<0,017

Mnożymy obie strony przez n i znowu musimy się pozastrzegać, że ‚n’ jest zawsze dodatnie i nie zmieni to na pewno znaku nierówności. Otrzymamy po tym przemnożeniu obu stron:

1<0,017n

Teraz obie strony dzielimy przez 0,017 (używamy kalkulatora i bierzemy jakieś rozsądne przybliżenie).

58,824<n

Patrząc na tą nierówność i pamiętając, że ‚n’ oznacza numer wyrazu ciągu – jaka będzie odpowiedź?

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu o numerach od 59 w górę spełniają nierówność. W tym ciągu odległość wyrazu 58-go od 2 nie jest jeszcze mniejsza od zadanego epsilona, ale 59-tego, 60-tego, 61-go,… i każdego następnego już tak.

Przykład 2 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=1/{n^2+1} i granicy g=0. Dla epsilona równego {epsilon}=27/10235 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

Ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego. Epsilon mamy ustalony na 27/10235. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą mniejsze od tej wartości.

Rozpiszmy ciąg:

a_n=1/{n^2+1}=1/{1^2+1},1/{2^2+1},1/{3^2+1},1/{4^2+1},1/{5^2+1},...itd.

Czyli…

a_n=1/{n^2+1}=1/2,1/5,1/10,1/17,1/26,...itd.

Wyrazy ciągu są coraz mniejsze i mniejsze, zbliżając się do zera. Trzeba wyznaczyć, które mają tą odległość mniejszą od {epsilon}=27/10235

Znowu nie będzie tak łatwo, „na oko” widać, że nie będzie to żaden z pierwszych pięciu wyrazów. Przejdźmy może do razu do rzeczy…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do  nierówności z definicji wstawiamy odpowiednie wartości:

delim{|}{1/{n^2+1}-0}{|}<27/10235

Czyli…

delim{|}{1/{n^2+1}}{|}<27/10235

Wartość bezwzględną możemy znowu opuścić, bo 1/{n^2+1} jest zawsze dodatnie, można więc zapisać:

1/{n^2+1}<27/10235

Obie strony możemy pomnożyć przez n^2+1, bo n^2+1 jest zawsze większe od zera…

1<{27/10235}(n^2+1)

Obie strony mnożymy przez 10235 (żeby było łatwiej) i mamy:

10235<27(n^2+1)

10235<27n^2+27

Przenosimy 27 na lewo:

10208<27n^2

Obie strony dzielimy przez 27 (kalkulator) i w przybliżeniu:

378,074<n^2

‚n’ może być tylko dodatnie (jak to jednak życie ułatwia, prawda?) więc możemy zapisać:

sqrt{378,074}<n

Czyli w przybliżeniu:

19,444<n

Mamy więc:

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu począwszy od 20-tego spełniają nierówność.

Przykład 1 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Zróbmy jeszcze inne zadanie, w którym trzeba będzie „pogrzebać” w definicji granicy ciągu:

Pokaż z definicji, że granicą ciągu a_n={5n}/{4n+1} jest liczba 5/4.

Korzystając z definicji, należy pokazać, że dla dowolnie małego epsilon istniał taki numer wyrazu ciągu, od którego już kolejne wyrazy będą spełniać nierówność:

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

A w naszym konkretnym przykładzie, trzeba pokazać, że dla dowolnie małego epsilona dla wszystkich n począwszy od jakiegoś spełniona będzie nierówność:

delim{|}{{5n}/{4n+1}-5/4}{|}<{epsilon}

Zrobimy to wyznaczając ‚n’ z powyższej nierówności. Na początku sprowadzamy do wspólnego mianownika…

delim{|}{{5n*4}/{(4n+1)*4}-{5(4n+1)}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Po lekkich porządkach:

delim{|}{{20n-20n-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{~-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Tą wartość bezwzględną po lewej możemy rozbić – na przykład – tak:

{delim{|}{-5}{|}}/{delim{|}{4(4n+1)}{|}}<{epsilon}

Czyli:

5/{16n+4}<{epsilon}

Obie strony możemy pomnożyć przez 16n+4 (bo jest to zawsze dodatnie).

5<{epsilon}(16n+4)

5<16{epsilon}n+4{epsilon}

5-4{epsilon}<16{epsilon}n

Obie strony dzielimy przez 16{epsilon} (możemy, bo epsilon w definicji granicy jest zawsze dodatni):

{5-4{epsilon}}/{16{epsilon}}<n

I teraz: n to numery wyrazów ciągu. Są coraz większe i większe. Jakikolwiek epsilon ustalimy sobie po lewej stronie nierówności, otrzymamy tam jakąś stałą liczbę. Choćby była ona bardzo wielka jednak – i tak, skoro n rośnie i rośnie, to w końcu prawa strona nierówności „przeskoczy” lewą i od jakiegoś n nierówność będzie spełniona, niezależnie od wyboru epsilon.

Pokazaliśmy więc z definicji, co mieliśmy pokazać.

Zróbmy jeszcze na koniec przykład w drugą stronę…

Przykład 2 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Sprawdź z definicji, czy granicą ciągu a_n={n+2}/{n-1}, gdzie n jest większe od 1, jest liczba 1/2.

Zwróćmy uwagę na niuansik. W poprzednim przykładzie w treści zadania było „Wykaż, że…” – czyli wiadomo było z góry, że tamta liczba była granicą ciągu i trzeba było to tylko udowodnić. Tutaj mamy „Sprawdź, czy…” – a więc być może nasza liczba granicą ciągu nie będzie w ogóle.

Zaczynamy od nierówności z definicji…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do której podstawiamy odpowiednie wartości…

delim{|}{{n+2}/{n-1}-1/2}{|}<{epsilon}

Znowu próbujemy wyznaczyć ‚n’ z powyższej nierówności.

delim{|}{{(n+2)*2}/{(n-1)*2}-{n-1}/{2(n-1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{2n+4-n+1}/{2n-2}}{|}<{epsilon}

{delim{|}{n+5}{|}}/{delim{|}{2n-2}{|}}<{epsilon}

Wartości bezwzględne można opuścić, bo – zwróć uwagę na treść zadania – powiedziane jest, że n data-recalc-dims=1″ title=”n>1″/>, czyli wartość bezwzględna na dole jest liczona z liczby dodatniej.

{n+5}/{2n-2}<{epsilon}

Obie strony mnożymy przez mianownik (można z tych samych powodów, dla których opuściliśmy wartość bezwzględną):

n+5<{epsilon}(2n-2)

n+5<2{epsilon}n-2{epsilon}

5+2{epsilon}<2{epsilon}n-n

5+2{epsilon}<n(2{epsilon}-1)

Przez 2{epsilon}-1 podzielić tak sobie nie możemy, bo dla pewnych wartości epsilon wyrażenie jest 2{epsilon}-1 dodatnie, a dla pewnych epsilon wyrażenie jest ujemne. Jeżeli ustalilibyśmy epsilon na przykład bardzo malutkie (możemy, bo ono mogło być dowolne) wyrażenie 2{epsilon}-1 będzie ujemne i po podzieleniu obu stron przez: 2{epsilon}-1 (pamiętamy o zmianie znaku nierówności po przemnożeniu obustronnym przez ujemną wartość!):

Końcowa nierówność w definicji granicy ciągu

Mamy więc (ze względu na odwrócony znak nierówności) sytuację zupełnie odwrotną, niż w poprzednim przykładzie. Po lewej jakąś ustaloną liczbę. Po prawej liczby coraz większe i większe. Można stwierdzić, że od pewnych n-ów nierówność NIE będzie spełniona (a miała być spełniona dla dowolnego epsilon).

Zatem liczba z zadania nie jest granicą ciągu.

Kliknij, dowiedzieć się więcej o wyrażeniach nieoznaczonych w granicach ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję granicy ciągu (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Kurs Granice

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 350 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 120 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu granic w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

18 komentarzy na “Granica ciągu z definicji – przykłady”

  1. hania 13 lutego 2013 o 20:44 Link do komentarza

    No i teraz wszystko jasne 🙂 Super artykuł, baardzo pomocny. Dziękuję i pozdrawiam 🙂

  2. Piotr 15 kwietnia 2013 o 22:49 Link do komentarza

    Krystian!!! Jesteś wielki!!!! Dziękuję Ci…. Musiałeś nieźle się napracować… masz moje pokłony:)

  3. karolina 29 sierpnia 2013 o 14:28 Link do komentarza

    witam, jak rozwiązać taką granice ciągu: (cosn^2/n^3+3n+1 ) -3 ?

  4. Ula 23 listopada 2013 o 16:18 Link do komentarza

    witam.
    Jak udowodnić , że każdy ciąg ma conajmniej jedną granicę?

    • Krystian Karczyński 25 listopada 2013 o 10:40 Link do komentarza

      No ale to nieprawda, że każdy ciąg ma co najmniej jedną granicę…

      Na przykład ciąg liczb naturalnych bez zera {{a}_{n}}=n nie ma żadnej granicy…

      • Bewu 3 września 2014 o 22:00 Link do komentarza

        Ale ten ciąg ma granicę niewłaściwą – równą nieskończoność. Są inne ciągi, których granica nie istnieje.

  5. cola20 17 marca 2014 o 23:35 Link do komentarza

    Witam.
    Mam problem z zadaniem:
    Znajdź wszystkie możliwe wartości parametrów a,b,c należące do R, dla których
    lim [((x^4+2x^3)^1/2)-ax^2-bx-c)=1 ( x towards infinity).
    Proszę o pomoc.

    • Krystian Karczyński 18 marca 2014 o 10:34 Link do komentarza

      Dobra, to powolutku pójdzie tak:

      1. Trzeba cały czas pamiętać, że ogólnie granica ma wyjść równa 1, czyli: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=1

      2. Zaczynamy standardowym przekształceniem z mnożeniem przez sprzężenie (metodami pokazanymi w moim Kursie):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right) \right)\frac{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}=

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      START =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{a}^{2}}{{x}^{4}}-ab{{x}^{3}}-ac{{x}^{2}}-ba{{x}^{3}}-{{b}^{2}}{{x}^{2}}-bcx-ca{{x}^{2}}-cbx-{{c}^{2}}}}{{\sqrt{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}} \right)}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Teraz ważny moment. Licznik, a wraz z nim cała granica, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE nawias \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)} zbiega do zera, bo wtedy w liczniku jest wyrażenie nieoznaczone \left[ 0\cdot \infty  \right].

      Ponieważ wiemy, że cała granica nie ma rozbiegać do nieskończoności, tylko zbiegać do 1 (patrz punkt 1), nasz licznik MUSI być tym wyrażeniem nieoznaczonym, żebyśmy mieli na to szanse. Wyrażenie w nawiasie \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)} musi więc zbiegać do zera. Składniki z x-sami w mianownikach już zbiegają, pozostaje nam 1-{a}^{2}, które powinno być równe zero. Stąd wniosek, że:

      \displaystyle {{a}^{2}}=1

      \displaystyle a=1\ \vee a=-1

      Mam więc dwa przypadki do rozpatrzenia, \displaystyle a=1 i \displaystyle a=-1.

      Zacznę od przypadku, że \displaystyle a=1:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}-\tfrac{{2b}}{x}-\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Tutaj sytuacja jest analogiczna. Licznik, a wraz z nim całe wyrażenie, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE wyrażenie w nawiasie, tzn. \displaystyle {x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)} zbiega do zera.

      Stąd analogiczny wniosek, że 2-2b musi być równe zero, czyli:

      b=1

      Z tym założeniem liczę dalej:

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -\tfrac{2c}{x}-\tfrac{1}{x}-\tfrac{2c}{{{x}^{2}}}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{3}}} \right)}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2c-1-\tfrac{2c}{x}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\frac{-2c-1}{2}

      Wiem, że wynik musi wyjść 1, zatem:

      \frac{-2c-1}{2}=1

      -2c-1=2

      -2c=3

      c=-\frac{3}{2}

      Pierwsza odpowiedź więc to: odpowiedź więc, to: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}

      Co potwierdza WolframAlpha:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_(x-%3Eoo)%20(sqrt(x%5E4%2B2x%5E3)-x%5E2-x%2B3%2F2)&t=crmtb01

      Pozostaje oczywiście przypadek \displaystyle a=-1:

      W tym przypadku granica będzie równa:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}+\tfrac{{2b}}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Wyrażenie w nawiasie w liczniku \displaystyle {\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)} musi znowu zbiegać do zera, czyli musi być:

      \displaystyle 2+2b=0

      \displaystyle b=-1

      Granica przyjmie wtedy postać:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2c-1+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}

      Tym razem zauważamy jednak, że mianownik dąży do zera (a nie do 2, jak w poprzednim przypadku). Aby całość dążyła do 1, licznik musi dążyć również do zera, powinno więc być:

      \displaystyle 2c-1=0

      \displaystyle c=\frac{1}{2}

      Dla tak dobranego c wychodzimy na granicę:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\tfrac{1}{x}-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{x}}}{{x\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}

      Policzenie jej odpuszczę już sobie, ale można szybko sprawdzić w kalkulatorze, że równa jest nieskończoność (a nie 1):

      Wynik tej granicy

      Dla przypadku, gdy a=-1 nie otrzymujemy więc rozwiązania.

      Jedyną odpowiedzią jest: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}.

  6. Ignacy 11 maja 2014 o 00:55 Link do komentarza

    Bardzo fajny artykuł ,ale mam problem z jedną rzeczą.W ostatnim przykładzie mamy podzielić obie strony przez (2e-1) i nie rozumiem dlaczego zmieniamy znak nierówności.Zgoda ,że dla pewnych wartości epsilon wyrażenie (2e-1) jest ujemne ale epsilon może przyjmować również wartości dla których to wyrażenie jest dodatnie ,a więc po podzieleniu i zmianie znaku nasza nierówność będzie dla pewnych wartości epsilon nieprawdziwa.
    Pozdrawiam Ignacy

    • Krystian Karczyński 12 maja 2014 o 08:18 Link do komentarza

      Ale już w następnym zdaniu artykułu biorę się do wyjaśniania, o co chodzi 🙂

      Chodzi o to, że pokazuję, że nierówność NIE zachodzi dla pewnych wartości epsilon (np. takich, dla których 2e-1 jest ujemne), a z tego, że ta nierówność NIE zachodzi dla wszystkich epsilonów wynika, że liczba NIE jest granicą ciągu.

      • Ignacy 14 maja 2014 o 21:22 Link do komentarza

        Rozumiem. Zastanawiałem się jeszcze tylko dlaczego nie rozpatrzył Pan dwóch przypadków albo nie wspomniał o tym ,że tak trzeba.W końcu olśniło mnie ,że nie trzeba tego robić bo jeżeli nasza nierówność może przyjmować różną postać w zależności od epsilona to zawsze lepiej wybrać tą mniejszą wartość bo jeżeli okaże się ,że równanie jest nie prawdziwe to mamy koniec zadania ,a jeżeli okazałoby się że nierówność jest prawdziwa to tym bardziej jest prawdziwa dla większych epsilonów choćby wartość graniczna N dla obydwu wartości epsilon była taka sama. Czy dobrze myślę?

  7. Paulina 13 maja 2014 o 21:04 Link do komentarza

    Witam. Mam problem z obliczeniem granicy ciągu an= [1+2^2√2+3^2√(trzeciego stopnia)3+…+n^2√(ntego stopnia)n] / n(n+1)(n+2) . Proszę o pomoc.
    Pozdrawiam, Paulina

  8. Albert 16 czerwca 2015 o 20:09 Link do komentarza

    Serdecznie dziękuję :-). Wszystko wytłumaczone krok po kroku nic dodać nic ująć świetny blog! Pozdrawiam

  9. irena 3 listopada 2015 o 07:43 Link do komentarza

    prosze o pomoc mam zad wyznaczyc dziedzine i zbior wartosci funkcji f(x)-2-4/x-3/

  10. Gosia 12 stycznia 2017 o 15:30 Link do komentarza

    Cześć, a co jeśli wychodzi mi lim=2n/3? czyli nieskończoność/3, to wynikiem jest 0?

    • Joanna Grochowska 2 lutego 2017 o 11:34 Link do komentarza

      Jeśli wynik granicy wychodzi fraction numerator 2 n over denominator 3 end fraction to po podstawieniu otrzymujemy open square brackets fraction numerator 2 times infinity over denominator 3 end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 3 close square brackets equals infinity . Bierze się to stąd, że jakąś bardzo, bardzo dużą liczbę dzieli się przez 3, to i tak będzie ona nadal bardzo duża.

      Granica zero wychodzi jedynie w przypadku, gdy w podstawieniu nieskończoność jest mianowniku, czyli  open square brackets A over infinity close square brackets equals 0 .

  11. Anna 19 lutego 2017 o 18:01 Link do komentarza

    Cześć, mam problem z policzeniem takiej granicy:lim square root of n(square root of n plus 3 end root – square root of n minus 1 end root)Bardzo proszę o pomoc 🙂

Dodaj komentarz