Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Funkcje Cyklometryczne (Wykład – Video)

 

Funkcje Cyklometryczne Wykład

 

Temat: Funkcje cyklometryczne

 

Streszczenie

Na wykładzie wprowadzę pojęcie funkcji cyklometrycznych: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Wykład składa się z dwóch części. W pierwszej pokazuję tylko jak szybciutko liczyć wartości funkcji trygonometrycznych, bez zbytniego wgłębiania się w temat (do tej części dołączony jest filmik Video, fragment mojego Kursu Całek Oznaczonych, Niewłaściwych i Zastosowań Całek ).

W drugiej opisuję funkcje cyklometryczne bardziej ściśle, pokazuję ich wykresy itd.

Do zrozumienia wykładu potrzebne będą:

  • funkcje trygonometryczne (szkoła średnia)

 

Część I

Funkcje cyklometryczne – wersja „INSTANT”

Funkcje cyklometryczne „na chłopski rozum” to po prostu funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Czyli arcsinx to funkcja odwrotna do sinx.

Czyli jeśli np. wiemy, że sin{pi}/6=1/2, to znaczy, że arcsin{1/2}={pi}/6.

I tak dalej:

arctg1={pi}/4, bo tg{pi}/4=1

arccos{1/2}={pi}/3, bo cos{pi}/3=1/2

arcsin{sqrt{3}}/2={pi}/3, bo sin{pi}/3=sqrt{3}/2

Do tego mamy jeszcze parę własności funkcji trygonometrycznych, które pozwalają nam obliczać ich wartości także dla argumentów ujemnych:

arcsin({-x})=-arcsinx

arccos({-x})={pi}-arccosx

arctg({-x})=-arctgx

arcctg({-x})={pi}-arcctgx

Możemy sobie więc jeszcze policzyć do tego:

arcsin({-{{sqrt{2}}/2}})=-arcsin{sqrt{2}}/2=-{pi}/4

arcctg({-1})={pi}-arcctg1={pi}-{pi}/4={3/4}{pi}

Mając więc tabelkę funkcji trygonometrycznych spokojnie wyznaczymy z niej wartości funkcji cyklometrycznych, odczytując ją po prostu „na odwrót”.

Objaśniam to dokładniej tu na filmiku:

 

 

Tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych z filmiku – pobierz tutaj .

 

Część II

Funkcje cyklometryczne – pełna wersja

 

Wstęp – dlaczego w sumie część I to za mało

Wygląda więc na to, że w części I zdefiniowaliśmy każdą funkcję cyklometryczną jako odwrotną do odpowiadającej jej trygonometrycznej.

Sformalizujmy to trochę. Powiedzieliśmy, że np. funkcja arcsinx przyjmuje wartość y, gdy funkcja sinus z tego y równa jest x.

Odpowiednio:

arccosx=y, gdy cosy=x

arctgx=y, gdy tgy=x

arcctgx=y, gdy ctgy=x

Czyli jeśli chcemy obliczyć arccos0 zastanawiamy się, cosinus jakiego kąta daje 0, wpadamy na to, że jest to kąt {pi}/2 i mamy wynik: arccos0={pi}/2.

Czy to już wyczerpuje nam temat wartości funkcji cyklometrycznych?

Oczywiście NIE.

Prześledźmy jeszcze raz całe rozumowanie na konkretnych liczbach (i przerzućmy się może tradycyjnie na arcsinx):

Jeśli chcemy obliczyć arcsin{1/2} zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje 1/2, wpadamy na to, że jest to kąt {pi}/6 i mamy wynik: arcsin{1/2}={pi}/6.

Gdzie tu problem? W pogrubionym fragmencie:

Jeśli chcemy obliczyć arcsin{1/2} zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje 1/2, wpadamy na to, że jest to kąt {pi}/6 i mamy wynik: arcsin{1/2}={pi}/6.

Niestety, nie tylko sinus {pi}/6 równy jest 1/2.

Przypomnijmy wykres funkcji sinx (zaznaczyłem na nim wartość 1/2):

Wykres sinx z zaznaczoną wartością 1/2

 

 

 

 

 

Widać i wiemy to już ze szkoły średniej, że sinus osiąga wartość 1/2 nie tylko dla kąta {pi}/6, ale także dla kątów: {5/6}{pi},2{1/6}{pi},-1{1/6}{pi},-1{5/6}{pi},...

Czyli sinx=1/2 dla x={pi}/6,{5/6}{pi},2{1/6}{pi},-1{1/6}{pi},-1{5/6}{pi},...

Przypomnijmy więc jeszcze raz nasz sposób obliczania arcsin:

Jeśli chcemy obliczyć arcsin{1/2} zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje 1/2, wpadamy na to, że jest to kąt {pi}/6 i mamy wynik: arcsin{1/2}={pi}/6.

No ale teraz wiemy już, że nie tylko sin{pi}/6 daje 1/2, wygląda więc na to, że:

arcsin{1/2}={pi}/6, lub {5/6}{pi}, lub 2{1/6}{pi}, lub -1{1/6}{pi}, lub -1{5/6}{pi},…

To oznaczało by, że arcsinx nie jest w ogóle funkcją, bo jednemu argumentowi przyporządkowanych jest kilka wartości!

Udzielenie jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, ile równy jest arcsin z czegoś było by wtedy zupełnie niemożliwe.

Łatwo też sobie wyobrazić, że podobny problem dotyczy KAŻDEJ z funkcji trygonometrycznych.

Nazywając rzecz bardziej fachowo: te funkcje nie są różnowartościowe, zatem funkcje odwrotne do nich nie istnieją. W każdej z funkcji trygonometrycznych każda ich wartość zostaje osiągnięta dla nieskończonej liczby argumentów (są one okresowe, prawda?), zatem przy próbie wyznaczenia ich funkcji odwrotnych otrzymamy nieskończoną liczbę wartości przyporządkowaną do każdego argumentu. A tak w funkcjach nie może być.

Co robić?

To dosyć proste, żeby nie powiedzieć: prostackie. Każdą z funkcji trygonometrycznych można OBCIĄĆ tak, aby w rezultacie otrzymać funkcję różnowartościową.

Do dzieła zatem, zdefiniujmy już prawidłowo wszystkie 4 funkcje cyklometryczne:

 

arcsinx

Przypomnijmy wykres funkcji sinx:

Wykres sinx

 

 

 

 

 

 

Jeśli umówimy się, że obetniemy go na przykład do przedziału do przedziału x{epsilon}[0,{pi}], otrzymamy taki wykres:Obraz3

Nie jest to niestety to, o co nam chodzi, ponieważ nie jest dalej wykres funkcji różnowartościowej i problem z wartością np. 1/2 nadal występuje:

Wykres funkcji sinx w przedziale [0,pi] z zaznaczoną wartością 1/2

Umawiamy się więc, że funkcję sinx przycinamy inaczej, do argumentów x{epsilon}[{-{{pi}/2}},{pi}/2]:

Wykres funkcji sinx dla x należących do [-pi/2,pi/2]

Teraz jest to funkcja różnowartościowa i istnieje do niej funkcja odwrotna arcsinx.

Wykres funkcji arcsinx wyglądać będzie mniej więcej tak:

Wykres funkcji arcsinx

Jej dziedziną jest przedział [-1,1], arcsin2 nie istnieje.

Ścisłe określenie funkcji arcsinx to zatem:

arcsinx=y, gdy siny=x, dla y{epsilon}[{-{pi}/2},{pi}/2].

 

arccosx

Funkcja cosx również nie jest funkcją różnowartościową:

Wykres funkcji cosx

Aby otrzymać funkcję różnowartościową musimy go jednak przyciąć do przedziału x{epsilon}[0,{pi}]:

Wykres funkcji cosx obciętej do przedziału [0,pi]

Tak określona funkcja jest już różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną arccosx.

Jej wykresem będzie mniej więcej:

Wykres funkcji arccosx

A jej ścisłym określeniem:

arccosx=y, gdy cosy=x, dla y{epsilon}[0,{pi}].

 

arctgx

Wykres funkcji tgx wygląda tak:

Wykres funkcji tgx

Również nie jest funkcja różnowartościowa! Obciąć możemy go w następujący sposób:

Wykres funkcji tgx obięty do przedziału [-pi/2,pi/2]

Otrzymując w ten sposób funkcję różnowartościową.

Wykres funkcji arctgx wygląda tak:

Wykres funkcji arctgx

A jej ścisłe określenie jest takie:

arctgx=y, gdy tgy=x, dla y\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right).

Zauważmy też, że z wykresu wynika kilka ciekawych własności, np:

  • dziedziną funkcji arctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arctg policzymy z każdej liczby)
  • arctg{infty}{right}{pi}/2
  • arctg({-infty}){right}-{{pi}/2}

 

arcctgx

Z wykresu funkcji ctgx:

Wykres funkcji ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykrajamy różnowartościowy kawałek:

Fragment wykresu funkcji ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji arcctgx wygląda tak:

Wykres funkcji arcctgx

Ścisłe określenie arcctgx było by takie:

arcctgx=y, gdy ctgy=x, dla y{epsilon}(0,{pi}).

Widać, że:

  • dziedziną funkcji arcctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arcctg policzymy z każdej liczby)
  • arctg{infty}{right}0
  • arctg({-infty}){right}{p}

 

Uwaga

W wielu kalkulatorach i w ogóle zapisach matematycznych (zwłaszcza zachodnich) funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie oznacza się jako „arcus”, tylko wykładnikiem potęgi -1. Na przykład arcsinx zapisuje się jako sin^{-1}x. Jak się wie, o co chodzi, to nie ma problemu. Można jednak zrobić makabryczny błąd i pomylić funkcję odwrotną do sinx z funkcją 1/{sinx} – która jest jeszcze zupełnie inną od arcsinx funkcją.

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

15 komentarzy na “Funkcje Cyklometryczne (Wykład – Video)”

  1. Ola 25 stycznia 2012 o 14:21 Link do komentarza

    Świetnie! Bardzo Panu Dziękujemy, bardzo mi się to przyda. Pozdrawiam serdecznie:)

  2. Marta 28 stycznia 2012 o 21:22 Link do komentarza

    Strasznie ubolewam nad faktem że nie mam szans na tak wyśmienitego prowadzącego na studiach jak Pan 🙂
    Matematyka przedstawiana na zajęciach jest przerażająca – jednak, gdy przeczytam/ pooglądam Pana prezentacje wszystko staje się jaśniejsze. Dziękuje 🙂

  3. Marta 1 lutego 2012 o 09:31 Link do komentarza

    Czy wykres ctg na pewno jest poprawny? Funkcja ta przyjmuje dla 45 stopni jeden a ni minus jeden.

    • Krystian Karczyński 1 lutego 2012 o 12:52 Link do komentarza

      Nie był poprawny, przepraszam (szkoła średnia się kłania…)! Już poprawiłem.

  4. Mateusz 20 maja 2013 o 20:05 Link do komentarza

    Czy przeciwdziedzina funkcji arcctg to nie zbiór (0;PI)? A nie [0,PI]?

  5. Panajotis 28 października 2013 o 15:48 Link do komentarza

    ctg(-x) = – ctg x na filmiku jest błąd ;(

    • Krystian Karczyński 29 października 2013 o 10:16 Link do komentarza

      Zgadza się, w tabelce zamiast ctg(-x) = ctgx powinno być ctg(-x) = - ctgx.

      Przepraszam za swoją pomyłkę.

  6. Krzysztof Banach 1 listopada 2013 o 21:48 Link do komentarza

    jak dla mnie kozak, czeto korzystam z Pana lekcji, dziękuje i pozdrawiam

  7. jessica 18 listopada 2013 o 22:13 Link do komentarza

    Przy rysunku arctg jest wpisany arcctg i jako nagłówek tez arcctg zamiast arctg

  8. Magda 23 października 2014 o 19:39 Link do komentarza

    Witam chciała bym sie dowiedziec o 5 własności funkcji arctgx . Pozdrawiam

    • Joanna Grochowska 30 grudnia 2015 o 14:42 Link do komentarza

      Funkcja arctgx jest:
      – rosnąca
      – nieparzysta
      – różnowartościowa
      – ciągła
      – różniczkowalna
      – jej dziedziną jest \displaystyle \Re , a przeciwdziedziną \displaystyle \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)

  9. Iwona Marczewska 16 grudnia 2015 o 20:22 Link do komentarza

    Doskonałe wyjaśnienie! Nie wyobrażam sobie studiowania bez uzupełniania wiedzy na eTrapez 🙂
    Uwielbiam matematykę, ale nie potrafię się jej uczyć sama i potrzebuję dokładnie tego, co tu znajduję. 🙂 Dziękuję!

  10. Treka 19 listopada 2016 o 00:36 Link do komentarza

    Powiem w skrócie. Jesteś niesamowity!

  11. Integral Love 12 marca 2017 o 20:05 Link do komentarza

    Biedny arcus secans i arcus cosecans ;-;

Dodaj komentarz