Model liniowy czy nieliniowy? I do czego nam są potrzebne pochodne cząstkowe oraz elastyczność.

W jednym z moich poprzednich artykułów przedstawiłam kilka przykładów modeli nieliniowych oraz sposoby, jak je sprowadzić do liniowych. Czyli dokonać tzw. linearyzacji.

To taka troszkę przeróbka, transformacja za pomocą pewnych metod matematycznych (np działania logarytmowania). Transformacja kojarzy mi się zawsze z „Transformerami” – w sumie oni też przekształcali się w samochody czy inne przedmioty. Może i ścisłej matematyki do tego nie wykorzystali, ale jednak jakaś tam „zamiana” była 🙂

Wspomniałam też o tym, że modele liniowe dzieliły się na liniowe względem parametrów oraz liniowe względem zmiennych. Czy to duża różnica? Otóż tak. Na dodatek ten pierwszy podział jest ważniejszy niż ten drugi. Bo zadaniem ekonometrii jest przede wszystkim estymacja parametrów, a jeżeli są one nieliniowe, to sprawy się komplikują…

 

Przykład 1

Popatrz na te dwa modele:

model nr 1:    Y space equals space a space plus space b space X space plus space c space X squared space plus space epsilon ,

model nr 2:   Y space equals space f space plus space g space X space plus space g squared space Z space plus space xi ,

gdzie X, Y, Z są zmiennymi, zaś a, b, c, f, g oznaczają parametry strukturalne oraz epsilon comma space xi – składniki losowe.

Ogólnie, w modelu typowo liniowym główną rolę odgrywa suma iloczynów typu  " bold plus bold space bold italic a subscript bold i bold space bold italic X subscript bold i bold space bold plus bold space " . To znaczy, że zarówno parametry, jak i zmienne powinny być jednocześnie w pierwszych potęgach, oraz zmienna objaśniana Y powinna być kombinacją liniową zmiennych objaśniających i różnych parametrów.

Tutaj tak nie jest. Dlatego też można śmiało stwierdzić, że w powyższym przykładzie oba modele są NIELINIOWE.

Jednakże, gdyby przypatrzeć się osobno zmiennym, a osobno na parametrom (w jakich są potęgach), to można powiedzieć, że model nr 1 jest liniowym modelem względem parametrów, natomiast model nr 2 jest liniowym modelem względem zmiennych.

Zobacz – niby nieliniowe, a jednak liniowe, przynajmniej częściowo 🙂

 

Pochodne cząstkowe względem parametrów

Skoro na początku wspomniałam, że kluczową rolę w ekonometrii odgrywa jednak liniowość modeli względem parametrów, to zapewne istnieje sposób, by ją jakoś konkretnie wskazać. I tak jest.

Wykorzystuje się do tego tzw. POCHODNE CZĄSTKOWE (nie, nie „czosnkowe”, bo zdarzało mi się nie raz i tak mówić) funkcji Y względem parametrów. Uwaga – NIE względem zmiennych objaśniających.

Dokładniej o pochodnych cząstkowych dowiedzieć się możesz z Kursu Pana Krystiana. Oczywiście zanim do nich przejdziesz, musisz mieć super opanowane zwykłe pochodne. Te również są omówione, ale w innym Kursie.

Do rzeczy.

Liczymy pochodne cząstkowe po parametrach. Czyli nie dla zmiennych X, Z, ale względem tych małych literek: a, b, c, f, g. Jeżeli każda z tych pochodnych jest NIEZALEŻNA od wszystkich parametrów modelu (czyli wynik pochodnej nie będzie zawierał tej małej literki), to taki model jest liniowy względem parametrów.

Policzmy pochodne cząstkowe modeli nr 1 oraz nr 2, czyli fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential a end fraction space comma space space fraction numerator begin display style partial differential Y end style over denominator begin display style partial differential b end style end fraction space comma space fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential c end fraction space comma space fraction numerator begin display style partial differential Y end style over denominator begin display style partial differential f end style end fraction space comma space fraction numerator begin display style partial differential Y end style over denominator begin display style partial differential g end style end fraction .

W pochodnych cząstkowych traktuję teraz daną literkę, np. „a” jako zmienną (wyobraź sobie że to jest „x„) a WSZYSTKIE pozostałe literki są nieważne, czyli traktujesz je wtedy jako STAŁĄ.

Tutaj przydadzą się dwa podstawowe wzory na pochodne związane ze stałą:

  • open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space equals space 0   (znasz na pewno bardziej wersję: open parentheses c close parentheses apostrophe space equals space 0 )

oraz

  • open parentheses s t a ł a space times f left parenthesis x right parenthesis close parentheses apostrophe space equals space s t a ł a space times open parentheses space f left parenthesis x right parenthesis space close parentheses apostrophe space   (w wersji wzorowej: open parentheses a times f left parenthesis x right parenthesis close parentheses apostrophe space equals space a times open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses apostrophe )

, oraz oczywiście wszystkie inne wzory na pochodne, np open parentheses x close parentheses apostrophe space equals space 1 czy też  open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe space equals space n times x to the power of n minus 1 end exponent (akurat te mi się tu przydadzą).

Tak więc w modelu nr 1:  Y space equals space a space plus space b space X space plus space c space X squared space plus space epsilon

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential a end fraction space equals open parentheses a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses b space X close parentheses apostrophe space plus open parentheses space c space X squared close parentheses apostrophe space plus open parentheses space epsilon close parentheses apostrophe space equals space open parentheses a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 1 plus 0 plus 0 plus 0 equals 1

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential b end fraction space equals open parentheses a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses b space X close parentheses apostrophe space plus open parentheses space c space X squared close parentheses apostrophe space plus open parentheses space epsilon close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space X times open parentheses b close parentheses apostrophe space plus open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus X times 1 plus 0 plus 0 equals X

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential c end fraction space equals open parentheses a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses b space X close parentheses apostrophe space plus open parentheses space c space X squared close parentheses apostrophe space plus open parentheses space epsilon close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space plus X squared times open parentheses c close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus 0 plus X squared times 1 plus 0 equals X squared

Czyli pochodne nie zależą od parametrów, więc model nr 1 jest liniowy względem parametrów.

Natomiast w modelu nr 2:  Y space equals space f space plus space g space X space plus space g squared space Z space plus space xi

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential f end fraction space equals open parentheses f close parentheses apostrophe space plus open parentheses g space X close parentheses apostrophe space plus space open parentheses g squared space Z close parentheses apostrophe space plus space open parentheses xi close parentheses apostrophe space equals space open parentheses f close parentheses apostrophe space plus space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 1 plus 0 plus 0 plus 0 equals 1

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential g end fraction space equals open parentheses f close parentheses apostrophe space plus open parentheses g space X close parentheses apostrophe space plus space open parentheses g squared space Z close parentheses apostrophe space plus space open parentheses xi close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space X times open parentheses g close parentheses apostrophe space plus Z times open parentheses g squared close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus X times 1 plus Z times 2 g plus 0 equals X plus 2 g Z

Tutaj już druga pochodna fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential g end fraction zależy od samego parametru g, dlatego też model nr 2 NIE jest liniowy względem parametrów.

 

Pochodne cząstkowe względem zmiennych 

Skoro już doszliśmy do pochodnych cząstkowych.

Oprócz liczenia ich względem parametrów, liczy się je oczywiście również względem zmiennych objaśniających X subscript i .

Jest to inna metoda przydatna przy określaniu związku funkcyjnego w modelach ekonometrycznych.

Najpierw wspomnę OGÓLNĄ INTERPRETACJĘ pochodnej cząstkowej jakiejkolwiek funkcji po jej zmiennej składowej, czyli fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential X subscript i end fraction(często nazywaną funkcją krańcową):

Jeżeli  ….to co na dole… wzrośnie (ZAWSZE wzrośnie!) o 1 jednostkę, …pozostałe zmienne… pozostaną bez zmian (ceteris paribus), to …to co na górze.. zmienia się (wzrasta / maleje) o około ..wynik.. jednostek.

Dlatego też analiza wrażliwości zmiennej objaśnianej Y na przyrost (krańcowo mały, jednostkowy) wartości zmiennej objaśniającej X subscript i  nam się tutaj przyda.

Jak to się ma do rozpoznawania rodzaju modelu?

Otóż w typowych modelach liniowych typu Y space equals space alpha subscript 0 space plus space alpha subscript 1 X subscript 1 space plus space alpha subscript 2 X subscript 2 space plus space... space plus space alpha subscript k X subscript k space plus epsilon taka zmiana zmiennej Y powinna być STAŁA  i równać się wartości parametru stojącego przy tej zmiennej, czyli alpha subscript i (oczywiście przy niezmienionych wartościach innych zmiennych – ceteris paribus). Przyrost ten nie zależy od zmiennej X subscript i. Dlatego też składnik dotyczący tej zmiennej w modelu powinien mieć postać " space alpha subscript i space end subscript X subscript i space " , czyli zbudować model liniowy.

Wzięło się to stąd, że:  fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential X subscript i end fraction space equals space bold italic alpha subscript bold i space equals space alpha subscript i times 1 space equals space alpha subscript i times open parentheses X subscript i close parentheses apostrophe space equals space open parentheses bold alpha subscript bold i bold times bold X subscript bold i close parentheses bold apostrophe .

Stąd, jeśli policzysz pochodne cząstkowe po zmiennych objaśniających modelu X subscript i i w wyniku pojawią Ci się zmienne, lub nie same stałe parametry, to taki model jest nieliniowy.

Wracając do Przykładu 1, popatrz, dlaczego są to modele wprost nieliniowe.

W modelu nr 1:  Y space equals space a space plus space b space X space plus space c space X squared space plus space epsilon

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential X end fraction space equals open parentheses a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses b space X close parentheses apostrophe space plus open parentheses space c space X squared close parentheses apostrophe space plus open parentheses space epsilon close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space b times open parentheses X close parentheses apostrophe space plus c times open parentheses X squared close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus b times 1 plus c times 2 X plus 0 equals b plus 2 c X

Ewidentnie nie jest to ani samo „b ani samo „c„.

Natomiast w modelu nr 2:  Y space equals space f space plus space g space X space plus space g squared space Z space plus space xi

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential X end fraction space equals open parentheses f close parentheses apostrophe space plus open parentheses g space X close parentheses apostrophe space plus space open parentheses g squared space Z close parentheses apostrophe space plus space open parentheses xi close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space g times open parentheses X close parentheses apostrophe space plus open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus g times 1 plus 0 plus 0 equals g

fraction numerator partial differential Y over denominator partial differential Z end fraction space equals open parentheses f close parentheses apostrophe space plus open parentheses g space X close parentheses apostrophe space plus space open parentheses g squared space Z close parentheses apostrophe space plus space open parentheses xi close parentheses apostrophe space equals space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus space open parentheses s t a ł a close parentheses apostrophe space plus g squared times open parentheses Z close parentheses apostrophe space plus space left parenthesis s t a ł a right parenthesis apostrophe space equals space 0 plus 0 plus g squared times 1 plus 0 equals g squared

Obie pochodne wyszły równe stałej (liczbie). Jednak parametr dla drugiej pochodnej jest podniesiony do kwadratu, a to nam nie pasuje.

 

Elastyczność

Często w firmach czy wielkich przedsiębiorstwach analityków nie interesuje przyrost ilościowy, ale PROCENTOWY. To znaczy, że nie chcemy znać wiedzieć o ile jednostek (kilogramów, sztuk, mln zł, itp.) wzrośnie/spadnie zmienna objaśniana Y, ale o ile procent zmieni jej wartość, gdy wartość danej zmiennej X subscript i krańcowo wzrośnie.

Przykład 2

Przedstawiono raport opisujący zależność sprzedaży czasopisma „Moje żubry” (G subscript t – w tys. sztuk), w zależności od wydatków na reklamę tej gazety (R subscript t – w tys. zł). Otrzymano liniowy model ekonometryczny (już po oszacowaniu):

G with hat on top subscript t space equals space 2 comma 36 space plus space 1 comma 36 R subscript t space

Jak już wspominałam wyżej, a także w moim wcześniejszym artykule, interpretacja oceny parametru w modelu typowo liniowym jest taka:

Wzrost (zawsze wzrost!) zmiennej objaśniającej X subscript i o 1 jednostkę pociąga za sobą zmianę (wzrost lub spadek – w zależności od znaku przy parametrze: „+” czy „” ) zmiennej objaśnianej Y o wartość oszacowanego parametru alpha subscript i, oczywiście przy niezmienionych wartościach pozostałych zmiennych (ceteris paribus) – można by napisać jakich.

W tym przykładzie mielibyśmy:

Jeśli wartość wydatków na reklamę wzrośnie o 1 tysiąc złotych, to ilość sprzedanych egzemplarzy czasopisma „Moje żubry” wzrośnie o około 1,36 tys. sztuk (o około 1360 sztuk).

Teraz pytanie, czy 1360 sztuk sprzedanych gazet to dużo, czy mało? Zwłaszcza względem wzrostu wydatków na reklamę aż o tysiąc złotych?

Czy gdyby powiedzieć, że sprzedaż wzrosła o powiedzmy 10-15% to nie byłaby to bardziej jasna, dokładniejsza, trafiająca do odbiorcy liczba? Zwłaszcza że wiemy ile sprzedajemy, więc ten wzrost procentowy na sztuki łatwo byśmy policzyli.

Dlatego też innym ważnym pojęciem używanym w ekonometrii (jak i innych ekonomicznych dziedzinach) jest ELASTYCZNOŚĆ. Do niej też wykorzystuje się pochodne cząstkowe, tylko z lekką modyfikacją. Oto wzór:

bold italic epsilon to the power of bold i bold space bold equals bold space fraction numerator bold partial differential bold Y over denominator bold partial differential bold X subscript bold i end fraction bold times bold X subscript bold i over bold Yinaczej mówiąc: p o c h o d n a space c z ą s t k o w a space times space fraction numerator d a n a space z m i e n n a over denominator c a ł a space f u n k c j a end fraction .

Do obliczeń można również wykorzystać pochodne logarytmiczne (do tego jednak musiałbyś przypomnieć rożne własności i działania na logarytmach), tzn.

bold italic epsilon to the power of bold i bold space bold equals bold space fraction numerator bold partial differential bold Y over denominator bold partial differential bold X subscript bold i end fraction bold times bold X subscript bold i over bold Y bold space bold equals bold space fraction numerator bold partial differential bold space bold ln bold space bold Y over denominator bold partial differential bold space bold ln bold space bold X subscript bold i end fraction

Wzór wzorem, interpretacja elastyczności idzie tak:

Jeżeli wartość zmiennej objaśniającej X subscript i wzrośnie o 1 space percent sign (w procentach, a nie jednostkach!), to wartość zmiennej objaśnianej Y zmieni się (wzrost lub spadek – w zależności od znaku przy parametrze: „+” czy „” ) o … wynik elastyczności… procent, przy niezmienionych wartościach pozostałych zmiennych (ceteris paribus).

Nie jest to trudne 🙂 Dla liniowych modeli ekonometrycznych interpretacja wyniku elastyczności jest identyczna jak dla oszacowanego parametru alpha subscript i , tylko tyle, że w procentach, a nie zwykłych jednostkach.

Na przykład, wartość epsilon to the power of i space equals space 0 comma 96 oznacza, że wraz ze wzrostem wartości zmiennej X subscript i o 1 space percent signwartość zmiennej Y wzrośnie o około 0 comma 96 space percent sign (a nie 96 percent sign) przy założeniu, iż wartości pozostałych zmiennych objaśniających nie ulegają zmianie.

 

Mam nadzieję, że po lekturze tego artykułu istota pochodnych cząstkowych i samej elastyczności nie będzie już taką tajemnicą i czymś obcym.

Podobnie rozpoznawanie modeli liniowych, tak ważnych w ekonometrii. Jak sam widzisz, wystarczy się nauczyć pewnego schematu, który powiela się w wielu innych aspektach, oczywiście z lekkimi modyfikacjami.

KONIEC

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej