Jak przerobić model nieliniowy na liniowy wykorzystując logarytmy

Jeśli zaczynasz przygody z ekonometrią i poznajesz budowę modeli ekonometrycznych, na pewno spotkałeś się na początku z najłatwiejszą do obliczeń i interpretacji postacią modelu – liniową:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space plus space alpha subscript 1 space X subscript t space plus space epsilonlub też w przypadku kilku zmiennych objaśniających:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space plus space alpha subscript 1 space X subscript t 1 end subscript space plus space alpha subscript 2 space X subscript t 2 end subscript space plus space... space plus space alpha subscript k space X subscript t k end subscript space plus space space epsilon

Jednak zależności między zmiennymi ekonomicznymi w rzeczywistości rzadko są ściśle liniowe. Mimo to ekonometria szczególnie często z nich korzysta. Choćby dlatego, że oprócz prostej interpretacji i obliczeń są postacią dla wielu modeli nieliniowych po ich linearyzacji.

To taka trochę przeróbka modeli nieliniowych na liniowe, za pomocą odpowiednich przekształceń matematycznych. Popatrz jak to można to zrobić w niektórych przypadkach 🙂

 

Nie wiem czy pamiętasz, ale w szkole średniej oprócz tej najprostszej funkcji y equals a x plus b omawiane były także inne, nie wyrażone liniowo, ale np. poprzez postać wykładniczą, potęgową, kwadratową, wymierną, logarytmiczną itp. Sporo tego było, jedne były fajne, inne mniej ciekawe. Na ich podstawie można oczywiście również utworzyć modele. Będą one właśnie nieliniowe. A dokładniej – nieliniowe modele względem parametrów lub też nieliniowe modele względem zmiennych.

Konkretne przykłady? Proszę bardzo (dla pokazania wybrałam po dwie zmienne objaśniające):

model wykładniczy:   Y space equals space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 end superscript space times space alpha subscript 2 superscript X subscript 2 end superscript space times epsilon  (czyli jest liczba (parametr) do potęgi zmiennej);

model potęgowy:  Y space equals space alpha subscript 0 space times X subscript 1 superscript alpha subscript 1 end superscript space times space X subscript 2 superscript alpha subscript 2 end superscript space times e to the power of epsilon  (tutaj z kolei jest zmienna do potęgi liczbowej);

model logarytmiczny:   Y space equals space alpha subscript 0 space space plus space alpha subscript 1 superscript blank space ln space X subscript 1 space plus space alpha subscript 2 superscript blank space ln space X subscript 2 space space plus space epsilon (na zmienne nałożone są logarytmy naturalne).

Zapytasz pewnie – jak wtedy oszacować parametry stojące przy zmiennych objaśniających? Jak je zinterpretować? Czy działa tutaj ta typowa Metoda Najmniejszych Kwadratów?

Nie do końca. Przynajmniej nie na tym etapie. Ale jest na szczęście i na to mały sposób 🙂 W tym artykule pokaże Ci jak przerobić (i zinterpretować!) takie modele przy użyciu działania logarytmowania.

 

Przykład 1

Poniższy rysunek ilustruje rozkład dwóch dowolnych zmiennych – objaśnianej Y oraz objaśniającej X.

Co powiesz o tym zbiorze punktów? Czy da się je jakby „ogarnąć” jedną linią prostą?

Na przykład w taki sposób:

lub może tak lepiej ustawić linię?

Czy może ten zbiór punktów przypomina bardziej inny kształt?

Podobny jest nie do linii prostej, ale układa się w taką rosnącą falę, coś na wzór:

Jeśli przypomnimy sobie pewne wiadomości ze szkoły średniej, to taki typ wykresu miała właśnie FUNKCJA WYKŁADNICZA podawana podstawowym wzorem:  y equals a to the power of x.  Po uwzględnieniu przesunięć góra / dół wychodziło: y equals a to the power of x space plus space b .

 

To był tylko przykładzik ilustrujący „wizualnie”, że zmienne mogą układać się nie tylko w sposób liniowy.

Poniżej pokaże Ci, jak na kilku wybranych modelach nieliniowych dokonuje się linearyzacji.

 

 

  • Model POTĘGOWY

Postać ogólna modelu ekonometrycznego z jedną zmienną objaśniającą jest następująca:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent

lub ogólny przypadek dla wielu zmiennych:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space times space X subscript 2 t end subscript superscript alpha subscript 2 end superscript space times space... space times X subscript k t end subscript superscript alpha subscript k end superscript space times space e to the power of epsilon subscript t end exponent

Sprowadzanie FUNKCJI POTĘGOWEJ do postaci LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW:

Dla przykładu pokażę, jak dokonać linearyzacji modelu dla dwóch zmiennych objaśniających.

Na początku nałożę obustronnie na całe równanie logarytm naturalny

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space times X subscript 2 t end subscript superscript alpha subscript 2 end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent space space space space space divided by space bold space bold ln bold space bold left parenthesis bold. bold. bold. bold right parenthesis

ln space Y subscript t space equals space ln space open parentheses alpha subscript 0 space times X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space times X subscript 2 t end subscript superscript alpha subscript 2 end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent space close parentheses

Z własności logarytmów wiemy, że bold log bold space open parentheses bold a bold space bold times bold space bold b close parentheses bold space bold equals bold space bold log bold space bold italic a bold space bold plus bold space bold log bold space bold italic b , stąd:

ln space Y subscript t space equals space ln space alpha subscript 0 space space plus space ln space X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space space plus space ln space X subscript 2 t end subscript superscript alpha subscript 2 end superscript plus space ln space e to the power of epsilon subscript t end exponent space

Wykorzystuję kolejną własność logarytmów, tzn: bold log bold space bold italic a to the power of bold n bold space bold equals bold space bold italic n bold times bold space bold log bold space bold italic a  (potęga z liczby logarytmowanej leci do przodu przed logarytm).

ln space Y subscript t space equals space ln space alpha subscript 0 space space plus alpha subscript 1 times space ln space X subscript 1 t end subscript superscript blank space space plus alpha subscript 2 times space ln space X subscript 2 t end subscript superscript blank space plus space epsilon subscript t space times ln space e to the power of blank space

I jeszcze ostatnia drobnostka. Logarytm naturalny to to samo, co logarytm przy podstawie liczby „e”. Stąd zawsze otrzymasz, że: bold ln bold space bold e bold space bold equals bold space bold log bold space subscript bold e bold space bold italic e bold space bold equals bold space bold 1  (bo logarytm z liczby o tej samej podstawie jakby „się skraca” i daje równiutko 1 ).

Mamy więc ostatecznie zlinearyzowany model ekonometryczny, tzn. model liniowy względem parametrów.

ln space Y subscript t space equals space ln space alpha subscript 0 space space plus alpha subscript 1 times space ln space X subscript 1 t end subscript superscript blank space plus alpha subscript 2 times space ln space X subscript 2 t end subscript superscript blank space space plus space epsilon subscript t

Jest on często określany jako model podwójnie logarytmiczny albo model logarytmiczno-liniowy.

Widzisz tutaj lekko przedefiniowane zmienne. Dla pokazania, że bezwarunkowo można uznać go za model liniowy, warto wprowadzić dodatkowe pomocnicze zmienne objaśniające, objaśnianą oraz pomocnicze parametry.

Uznam, że:   V subscript t space equals space ln space Y subscript t space  oraz  Z subscript 1 t end subscript space equals space space ln space X subscript 1 t end subscript superscript blank space space space comma space space Z subscript 2 t end subscript space equals space space ln space X subscript 2 t end subscript superscript blank  , a także, że  beta subscript 0 space equals space ln space alpha subscript 0 superscript blank space space comma space beta subscript 1 space equals alpha subscript 1 space end subscript superscript blank space comma space beta subscript 2 space equals alpha subscript 2 space end subscript superscript blank . Stąd:

V subscript t space equals space beta subscript 0 space space plus beta subscript 1 times space Z subscript 1 t end subscript superscript blank space plus beta subscript 2 times Z subscript 2 t end subscript superscript blank space space plus space epsilon subscript t

I tutaj możesz już śmiało szacować parametry przy pomocy klasycznej metody najmniejszych kwadratów, (którą z resztą dokładnie omówiłam w moim Kursie).

 

Przykład 2

Dla powyższego równania otrzymano (przykładowo oczywiście) następujące oszacowanie po zastosowaniu KMNK:

V with hat on top subscript t space equals space 2 comma 37 space space plus 0 comma 03 times space Z subscript 1 t end subscript superscript blank space plus 1 comma 78 times Z subscript 2 t end subscript superscript blank space

By „odtworzyć” oszacowaną postać potęgową modelu powracam do pierwotnych parametrów.

beta subscript 1 space equals alpha subscript 1 space end subscript superscript blank space equals 0 comma 03 space oraz  beta subscript 2 space equals alpha subscript 2 space end subscript superscript blank space equals space 1 comma 78 . Z wyrazem wolnym będą związane lekkie przekształcenia:

beta subscript 0 space equals space ln space alpha subscript 0 superscript blank space space space space divided by space bold italic e to the power of bold left parenthesis bold. bold. bold. bold right parenthesis end exponent bold spacee to the power of beta subscript 0 end exponent space equals e space to the power of ln space alpha subscript 0 superscript blank end exponent space

Wykorzystuję tutaj własność logarytmu naturalnego i liczby „e”, tzn. bold italic e bold space to the power of bold l bold n bold space bold x end exponent bold space bold equals bold space bold italic x.

Czyli:  e to the power of ln space alpha subscript 0 end exponent space equals space alpha subscript 0 space equals space e to the power of beta subscript 0 end exponent space equals e to the power of 2 comma 37 end exponent space almost equal to space 10 comma 7

Mam więc ostatecznie oszacowany model  Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times X subscript 1 t end subscript superscript alpha subscript 1 end superscript space times X subscript 2 t end subscript superscript alpha subscript 2 end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent  w postaci:

Y with hat on top subscript t space equals space 10 comma 7 space times X subscript 1 t end subscript superscript 0 comma 03 end superscript space times X subscript 2 t end subscript superscript 1 comma 78 end superscript space

INTERPRETACJA:

Przykro mi, ale niestety nie pójdzie ona typowo jak dla modelu ściśle liniowego (popatrz np. mój wcześniejszy artykuł).  No prawie nie pójdzie 🙂 Nie mamy tutaj samej zmiennej „Y” lub „X” , ale jest  ln space Y czy też ln space X .

Jeżeli w równaniu regresji zmienną objaśnianą jest logarytm pewnej wielkości ekonomicznej (czyli np. V subscript t space space space t o space space ln space Y subscript t space), a zmienną objaśniającą jest logarytm naturalny jakiejś innej zmiennej (np. Z subscript t space space t o space space ln space X subscript t superscript blank space), to ocenę parametru alpha subscript i możesz interpretować stosując procenty w odniesieniu bezpośrednio do podanych wielkości.

Czyli zamiast:

„… Jeśli ln space X subscript i t end subscript  wzrośnie o  1 space jednostkę… to wartość  ln space Y subscript t  wzrośnie/spadnie  o około alpha subscript i  jednostek…. przy ceteris paribus.”

Powinieneś napisać:

„… Jeśli wartość  X subscript i t end subscript wzrośnie o 1 space percent sign … to wartość  Y subscript t  wzrośnie/spadnie o około alpha subscript i space percent sign .. przy założeniu ceteris paribus”.

UWAGA: NIE mnożymy wartości parametru przez 100, ta liczba jest już wyrażona w % !

Jest to związane z tzw. elastycznością funkcji. Polecam o tym poczytać w innym Artykule 🙂

Jeszcze szybciutko wspomnę o interpretacji wyrazu wolnego alpha subscript 0 . Wyraża on poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartość 1.

Wracając do Przykładu 2

Przypuśćmy, że Y to wartość sprzedaży skarpetek [w mln zł], X subscript 1 – dochód konsumenta [w zł], zaś X subscript 2 – wartość produkcji skarpetek w fabryce „Lanolina” [w mln zł].

Interpretacja dla alpha subscript 1 space end subscript superscript blank space equals 0 comma 03 space:  „Jeśli wartość dochodu konsumenta wzrośnie o 1 space percent sign to wartość sprzedaży skarpetek wzrośnie o około 0 comma 03 space percent sign (a NIE 3 space percent sign), przy ceteris paribus (przy założeniu niezmiennej wartości produkcji)”.

Interpretacja dla alpha subscript 2 space end subscript superscript blank space equals 1 comma 78 space:  „Jeśli wartość produkcji skarpetek w fabryce „Lanolina” wzrośnie o 1 space percent sign to wartość sprzedaży skarpetek wzrośnie o około 1 comma 78 space percent sign , przy ceteris paribus (przy założeniu niezmiennej wartości dochodu konsumenta)”.

 

Widzisz? Nie jest jednak takie trudne 🙂

No to przechodzimy do drugiego typu modelu nieliniowego.

 

 

  • Model WYKŁADNICZY

Postać ogólna modelu ekonometrycznego z jedną zmienną objaśniającą jest następująca:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent

lub ogólny przypadek dla wielu zmiennych:

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times space alpha subscript 2 superscript X subscript 2 t end subscript end superscript space times space... space times alpha subscript k superscript X subscript k t end subscript end superscript space times space e to the power of epsilon subscript t end exponent

Sprowadzanie FUNKCJI WYKŁADNICZEJ do postaci LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW:

Podobnie jak wcześniej, dokonam linearyzacji modelu dla dwóch zmiennych objaśniających.

Sytuacja jest identyczna. Zaczynam od zlogarytmowania równania

Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times alpha subscript 2 superscript X subscript 2 t end subscript end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent space space space space space divided by space bold space bold ln bold space bold left parenthesis bold. bold. bold. bold right parenthesis

ln space Y subscript t space equals space ln space open parentheses space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times alpha subscript 2 superscript X subscript 2 t end subscript end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent space space close parentheses

Z własności logarytmów  bold log bold space open parentheses bold a bold space bold times bold space bold b close parentheses bold space bold equals bold space bold log bold space bold italic a bold space bold plus bold space bold log bold space bold italic b , czyli:

ln space Y subscript t space equals space ln space alpha subscript 0 space space plus space ln space alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space space plus space ln space alpha subscript 2 superscript X subscript 2 t end subscript end superscript space space plus space ln space e to the power of epsilon subscript t end exponent space space

Dalej, wykorzystuję własność: bold log bold space bold italic a to the power of bold n bold space bold equals bold space bold italic n bold times bold space bold log bold space bold italic a

ln space Y subscript t space equals space space ln space alpha subscript 0 space space plus X subscript 1 t end subscript space times space ln space alpha subscript 1 superscript blank space space plus space X subscript 2 t end subscript space times space ln space alpha subscript 2 superscript blank space space plus space epsilon subscript t space times ln space e to the power of blank space

I ostatecznie, wykorzystując jak wcześniej to, że: bold ln bold space bold e bold space bold equals bold space bold log bold space subscript bold e bold space bold italic e bold space bold equals bold space bold 1  oraz porządkując wynik mamy:

ln space Y subscript t space equals space ln space alpha subscript 0 space space plus ln space alpha subscript 1 times X subscript 1 t end subscript superscript blank space plus space ln space alpha subscript 2 times X subscript 2 t end subscript superscript blank space space plus space epsilon subscript t

Jest on z kolei nazywany modelem połlogarytmicznym.

Zobacz, tym razem mamy troszkę inną sytuację niż wcześniej. Logarytm nałożony jest tylko na zmienną Y. Zmienne objaśniające są normalnie, są bez zmian brane do modelu. Parametry są z logarytmami, ale jak już wiesz, żadnym problemem to nie będzie 🙂

Podstawiam:   V subscript t space equals space ln space Y subscript t space  oraz  beta subscript 0 space equals space ln space alpha subscript 0 superscript blank space space comma space beta subscript 1 space equals ln space alpha subscript 1 space end subscript superscript blank space comma space beta subscript 2 space equals ln space alpha subscript 2 space end subscript superscript blank . Stąd:

V subscript t space equals space beta subscript 0 space space plus beta subscript 1 times space X subscript 1 t end subscript superscript blank space plus beta subscript 2 times X subscript 2 t end subscript superscript blank space space plus space epsilon subscript t

I tutaj znów możesz już śmiało szacować parametry przy użyciu KMNK.

 

Przykład 3

Powiedzmy, że dla powyższego równania otrzymano przykładowo takie oto oszacowanie parametrów strukturalnych:

V with hat on top subscript t space equals space 1 comma 6 space space plus 0 comma 73 times space X subscript 1 t end subscript superscript blank space plus 0 comma 44 times X subscript 2 t end subscript superscript blank space

By „odtworzyć” oszacowaną postać potęgową modelu powracam do pierwotnych parametrów. Na wszystkie alpha subscript i nałożony był logarytm, dlatego korzystam z przekształcenia (podobnie jak we wcześniejszym modelu):

beta subscript i space equals space ln space alpha subscript i superscript blank space space space space divided by space bold italic e to the power of bold left parenthesis bold. bold. bold. bold right parenthesis end exponent bold spacee to the power of beta subscript i end exponent space equals e space to the power of ln space alpha subscript i superscript blank end exponent Stąd: e to the power of beta subscript i end exponent space equals alpha subscript i

Czyli:  alpha subscript 0 space equals space e to the power of beta subscript 0 end exponent space equals e to the power of 1 comma 6 end exponent space almost equal to space 4 comma 95  ,  alpha subscript 1 space equals space e to the power of beta subscript 1 end exponent space equals e to the power of 0 comma 73 end exponent space almost equal to space 2 comma 08 , alpha subscript 2 space equals space e to the power of beta subscript 2 end exponent space equals e to the power of 0 comma 44 end exponent space almost equal to space 1 comma 55 .

Mam więc ostatecznie oszacowany model  Y subscript t space equals space alpha subscript 0 space times alpha subscript 1 superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times alpha subscript 2 superscript X subscript 2 t end subscript end superscript space times e to the power of epsilon subscript t end exponent space  postaci:

Y with hat on top subscript t space equals space 4 comma 95 space times 2 comma 08 subscript blank superscript X subscript 1 t end subscript end superscript space times 1 comma 55 subscript blank superscript X subscript 2 t end subscript end superscript

INTERPRETACJA:

Jeżeli w równaniu regresji zmienną objaśnianą jest logarytm pewnej wielkości ekonomicznej (czyli np. V subscript t space space space t o space space ln space Y subscript t space), a zmienną objaśniającą jest wybrana zmienna (bez logarytmu, czyli po prostu X subscript t), niestety, nie możesz powiedzieć:

„… Jeśli wartość space X subscript i t end subscript  wzrośnie o  1 space jednostkę… to wartość  ln space Y subscript t  wzrośnie/spadnie  o około beta subscript i  jednostek…. przy ceteris paribus.”

Taka interpretacja jest mało użyteczna – nie odnosi się bezpośrednio do wielkości ekonomicznych. Dziwnie brzmi, że np. logarytm sprzedaży (?), logarytm dochodu (?), itp. wzrośnie o daną wartość.

Aby przejść na bardziej przydatną interpretację, musisz sobie uświadomić, co oznacza „wzrost logarytmu o jednostkę”.

Jeżeli logarytm naturalny jakiejś zmiennej wzrośnie o „k”  jednostek, jest to równoważne wzrostowi samej wielkości e to the power of k razy (co zapisujemy też e x p left parenthesis k right parenthesis).

Wzięło się to stąd, że: bold space bold italic l bold italic n bold space bold italic Y bold space bold plus bold space bold italic k space space equals space space ln space Y space plus space k times ln space e space equals ln space Y space plus space ln space e to the power of k space equals space bold italic l bold italic n bold space bold left parenthesis bold italic Y bold times bold italic e to the power of bold k bold right parenthesis bold space.

Czyli mamy ostatecznie taką interpretację dla tego typu modeli:

„… Jeśli wartość  X subscript i t end subscript wzrośnie o 1 jednostkę … to wartość  Y subscript t  wzrośnie/spadnie około e to the power of beta subscript i end exponent space space left parenthesis l u b space space e x p left parenthesis beta subscript i right parenthesis right parenthesisrazy.. przy założeniu ceteris paribus”.

Z racji tego, że doszliśmy już w naszych przekształceniach do wniosku, że: e to the power of beta subscript i end exponent space equals alpha subscript i , mogę to również interpretować jako:

„… Jeśli wartość  X subscript i t end subscript wzrośnie o 1 jednostkę … to wartość  Y subscript t  wzrośnie/spadnie około alpha subscript i  razy.. przy założeniu ceteris paribus”.

Jeżeli  potrzebujesz interpretacji w procentach, to musisz wziąć pod uwagę taki fakt związany z procentami. Wzrost np. 1 comma 75 razy to wzrost o 75 space percent sign (czyli o left parenthesis 1 comma 75 space – space 1 right parenthesis asterisk times 100 percent sign ). Ostatecznie więc możemy interpretować to tak:

„… Jeśli wartość  X subscript i t end subscript wzrośnie o 1 jednostkę … to wartość  Y subscript t  wzrośnie/spadnie o około open parentheses e to the power of beta subscript i end exponent minus 1 close parentheses times 100 percent sign space space space open parentheses l u b space open parentheses alpha subscript i minus 1 close parentheses times 100 percent sign close parentheses .. przy założeniu ceteris paribus”.

 

Jeszcze napomknę jak interpretuje się wyraz wolny alpha subscript 0 . Wyraża on poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartość 0.

Wracając do Przykładu 3

Przypuśćmy, że zmienne mają takie same znaczenie jak w Przykładzie 2.  Zmienna Y to wartość sprzedaży skarpetek [w mln zł], X subscript 1 – dochód konsumenta [w zł], zaś X subscript 2 – wartość produkcji skarpetek w fabryce „Lanolina” [w mln zł].

Interpretacja dla alpha subscript 1 space end subscript superscript blank space equals 2 comma 08 space:  „Jeśli wartość dochodu konsumenta wzrośnie o 1 jednostkę, to wartość sprzedaży skarpetek wzrośnie około 2 comma 08 razy (lub e to the power of 0 comma 73 end exponent razy) , czyli wzrośnie o około open parentheses 2 comma 08 minus 1 close parentheses times 100 percent sign space space equals space 108 percent signprzy ceteris paribus (przy założeniu niezmiennej wartości produkcji)”.

Interpretacja dla alpha subscript 2 space end subscript superscript blank space equals 1 comma 55:  „Jeśli wartość produkcji skarpetek w fabryce „Lanolina” wzrośnie o 1 jednostkę, to wartość sprzedaży skarpetek wzrośnie około 1 comma 55 razy (lub e to the power of 0 comma 44 end exponent razy) , czyli wzrośnie o około open parentheses 1 comma 55 minus 1 close parentheses times 100 percent sign space equals space 55 percent sign, przy ceteris paribus (przy założeniu niezmiennej wartości dochodu konsumenta)”.

 

 

Zapytasz pewnie po co mi jest to potrzebne? Zwłaszcza takie dokładne (a czasami może i skomplikowane) interpretacje.

Żebyś umiał spoglądając na oszacowane równanie regresji wyrobić sobie zdanie, co te wyniki znaczą. Zawsze patrząc na uzyskane oceny parametrów staraj się wymyślić CO ONE ZNACZĄ i CZY SĄ SENSOWNE.

Poza tym, trzeba pamiętać o rozróżnieniu między zmienną w regresji a wielkością ekonomiczną i budować interpretacje tak, by były one ścisłe, prawdziwe, ale UŻYTECZNE i SENSOWNE – czyli jak najbliższe rzeczywistego problemu, wielkości które nas naprawdę interesują.

Wyklepanie formułki to żadna zasługa. Trzeba interpretować inteligentnie – wyobraź sobie, że piszesz raport dla niezbyt mądrego, ale strasznie upierdliwego szefa, którego nie obchodzą szczegóły obliczeń ani jak do wyniku doszedłeś, obchodzą go wyłącznie wnioski – ścisłe, prawdziwe ale podane tak, aby zrozumiał i aby do czegoś mu się to przydało.

Jeszcze jedna UWAGA. Przy interpretacjach pamiętaj (bo też często z tym się spotykałam na korepetycjach), by nie mówić „zmienna wzrośnie” , ale: „wartość zmiennej wzrośnie” (np. nie sprzedaż wzrośnie tylko wielkość sprzedaży wzrośnie). Wykładowcy są różni. Wiem, że niektórzy zwracają na to uwagę i chcą mieć interpretacje dopieszczone i w pełni poprawne 🙂

Powodzenia!

 

KONIEC

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej