Wzory do całek wielokrotnych

W całeczkach bez wzorów ani rusz. Zamieszczam więc PDFy z odpowiednimi wzorami, uzbrojony w które możesz podjąć walkę z jakimś tam momentem bezwładności stożka, albo polem powierzchni kuli wykrojonej walcem.

Na początku to, co powinieneś już UMIEĆ, podchodząc do całek wielokrotnych. Nie chodzi mi o to, że powinieneś umieć te wszystkie wzory na pamięć, tylko o to, że takie np. całki nieoznaczone musisz już umieć liczyć.

Tabela podstawowych wartości trygonometrycznych

Wzory na pochodne

Wzory na całki nieoznaczone

Teraz zaczynamy od całek podwójnych, przejścia na współrzędne biegunowe, ich zastosowań itd. Dodałem też zastosowania fizyczne całek podwójnych:

Wzory na całki podwójne

Co do całek potrójnych mamy współrzędne sferyczne i walcowe i oczywiście zastosowania fizyczne:

Wzory na całki potrójne

Całki krzywoliniowe wyglądają groźnie, ale jak już się się zna wzór na przejście na całkę oznaczoną…

Wzory na całki krzywoliniowe

Całki powierzchniowe to już naprawdę ostra jazda, ale ogólnie w teorii chodzi tylko o to, żeby przejść na podwójną (zdecydowanie polecam współrzędne parametryczne, jak we wzorach), albo potrójną (Gaussem-Ostrogradskiem, także we wzorach):

Wzory na całki powierzchniowe

Na deserek już tylko porcja wzorów do pól wektorowych:

Wzory na elementy teorii pola

Oczywiście nie nastawiaj się, że same wydrukowanie sobie tych wzorów pomoże, gdyby to było łatwe, w ogóle żadne szkoły nie były by potrzebne. Jak ich używać możesz dowiedzieć się na przykład w moim Kursie. Ale mam nadzieję, że się przydadzą. Warto je mieć skondensowane, wyselekcjonowane (wykreślaj sobie to, czego nie potrzebujesz, to ważne) i pod ręką :)

 

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 8000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Dawid napisał:

    Czy jest mozliwość dostatania tylko jednej lekcji chodzi mi o Lekcje 1- Całki podwójne

  2. Paweł napisał:

    Witam:) mam taki problem:) Jak wyprowadzić wzór na objętośc ostrosłupa prawidłowego
    o wysokości 2H i podstawie kwadratowej o przekątnej 2a stosując rachunek całkowy?:)
    Bardzo będę wdzięczny za pomoc:)

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam! To bardzo fajne pytanie i chciałem na nie odpowiedzieć postem na blogu, ale niestety zrobił mi się kocioł w pracy i w najbliższym czasie nie dam rady.
      No ale tak w skrócie – rysujemy i liczymy :) a,H – traktujemy jak stałe, liczby.
      1. Rysujemy ostrosłupka tak, żeby wysokość miał na osi Oz, a przekątne na osiach Ox, Oy.
      2. Zadanie jest przyjaźnie ułożone, liczymy objętość ćwiartki ostrosłupa i mnożymy przez 4. Powierzchnia ograniczająca bryłę z góry to ściana ostrosłupa – jej równanie to x/a+y/a+z/{2H}=1 – tylko „z” trzeba wyznaczyć. Wziełem to sobie z równania odcinkowego płaszczyzny.
      Obszar całkowania to 0 do x do a i 0 do y do -x+a (narysować w dwóch wymiarach i wyznaczyć równanie prostej).
      3. Liczymy całkę podwójną w tych granicach z funkcji „z” i mnożymy przez 4 i mamy wynik jakiś z a i H na pewno.

  3. Paweł napisał:

    Dziękuje za pomoc:)

  4. Rafał napisał:

    Witam!
    Mam problem ze ściągnięciem instalki do kursu: ” Kurs Całki Wielokrotne”
    Bardzo bym prosił o przesłanie mi aktualnego linka na maila.
    Z góry dziękuje!

    Podane niżej linki nie działają:

    http://www.etrapez.pl/kcw/kcw.zip

    • mat napisał:

      zadanie 1 przyklad 1 w zestawie zadania domowego w odpowiedziach jest 1/3 , wydaje mi sie ze powinno byc 5/6

  5. mat napisał:

    sorry moj błąd

  6. Paweł napisał:

    Witam jak zabrać się za zadania takiej treści: 1. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej ćwiartki koła x^2+y^2=0; y=>0
    2. Powołując się na znane zastosowanie całek krzywoliniowych obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną całka z L (2x-y)dl gdzie L jest okręgiem x^2+y^2=<1. Uwaga rozwiązania bezpośrednie nie będą brane pod uwagę. Z góry dziękuje za każdą pomoc

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam,

      1. Coś chyba nie tak, {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0 to NIE jest równanie okręgu (po prawej jest zero, czyli promień by musiał być równy 0…), ani nawet ćwiartki okręgu (dla y\ge 0 była by to połówka okręgu, zakładając, że miał by jakiś promień).

      2. Nie wiem, o jakie „znane” zastosowanie chodzi, sorry… Licząc tą całkę normalnie (nie przez to nieznane mi znane zastosowanie :) ) zapisalibyśmy ten okrąg w postaci parametrycznej:

      \left\{ \begin{matrix}   &x=cost\\  &y=sint\\ \end{matrix} \right., t \in <0,2 \pi>

      i podstawili po prostu do wzoru na całkę krzywoliniową nieskierowaną:

      \int\limits_{L}{\left( 2x-y \right)dL}=\int\limits_{0}^{2\pi }{\left( 2\cos t-\sin t \right)\sqrt{{{\left( -\sin t \right)}^{2}}+{{\left( \cos t \right)}^{2}}}dt}=\int\limits_{0}^{2\pi }{\left( 2\cos t-\sin t \right)\sqrt{{{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t}dt}=

      =\int\limits_{0}^{2\pi }{\left( 2\cos t-\sin t \right)dt}=\ldots =0

      No i pewno (sądząc po poleceniu) jakoś można od razu było stwierdzić, że wyjdzie to zero, ale nie wiem jak… Ale jak by ktoś wiedział, to byłbym wdzięczny za komentarz.

      • Paweł napisał:

        W przypadku profesora chodzi mu o znane zastosowania czyli po prostu w oparciu o definicje, i pomyłka z tym kołem wiem nie może być 0 tylko ma być 1 ale to było pisane nie przemyślanie

  7. Paweł napisał:

    Nie podziękowałem za dotychczasową pomoc, dziękuje… teraz wrzucę skan kartki z egzaminu w nim jest zadania z ćwiartką koła i teraz przynajmniej nie pomylę się… http://zapodaj.net/9e61effc401f8.jpg.html jeszcze drobna prośba. Oglądałem ostatnio trochę filmów z etrapez i ciekawi mnie jak zabrać się za zadania z egz za wyjątkiem 3, które jest banalne(skan), w przypadku pierwszego zadania wiem, że to będzie parabolka ograniczona od 0 do pierwiastek z 3… i mniej więcej ogarniam, najwięcej osób u nas na ATH w bielsku poległo na zad od 3 do 5 sam nie wiem jak dokonca też w sumie nie wiem jak za to się zabrać dlatego proszę o pomoc

    • Krystian Karczyński napisał:

      No to jeżeli chodzi o tą ćwiartkę koła to jest powiedziane, że jest ona JEDNORODNA, przyjmuję więc za \rho =1 i podstawiam tylko do odpowiednich wzorów na całki podwójne:

      Najpierw masa M:

      M=\iint\limits_{D}{\rho \left( x,y \right)dxdx}=\iint\limits_{D}{dxdy}

      Żeby policzyć tą całkę korzystam z pewnego patentu, opisanego w moim Kursie . Wiem, że całka podwójna z samego dxdy, „bez” funkcji podcałkowej z jakiegoś obszaru równa jest POLU tego obszaru (czyli ćwiartce koła), zatem:

      M=\iint\limits_{D}{dxdy}=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot {{1}^{2}}=\frac{1}{4}\pi

      Liczę momenty statyczne z wzorów:

      {{M}_{x}}=\iint\limits_{D}{ydxdy}

      {{M}_{y}}=\iint\limits_{D}{xdxdy}

      Oczywiście ze względu na obszar całkowania przechodzę na współrzędne biegunowe: x=r \cos \varphi , y=r \sin \varphi , gdzie:

      \left\{ \begin{matrix}    &0\le r\le 1\\   &0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}\\  \end{matrix} \right.

      Czyli mam:

      {{M}_{x}}=\iint\limits_{D}{ydxdy}=\int\limits_{0}^{1}{\left\{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \varphi d\varphi } \right\}rdr}=\ldots =\frac{1}{2}

      {{M}_{y}}=\iint\limits_{D}{xdxdy}=\int\limits_{0}^{1}{\left\{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos \varphi d\varphi } \right\}rdr}=\ldots =\frac{1}{2}

      Czyli współrzędne środka ciężkości to:

      \left( \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\pi }{4}},\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\pi }{4}} \right)=\left( \frac{2}{\pi },\frac{2}{\pi } \right)

  8. Paweł napisał:

    dzięki

  9. adrian napisał:

    Witam, nie mam pojecia jak zabrać sie do tego zadania proszę o pomoc
    całka potrójna
    Obliczyć masę kostki o długości krawędzi równej 2, jeżeli gęstość w każdym punkcie równa jest
    odległości punktu od podstawy kostki.

  10. Magda napisał:

    Mam pytanie odnośnie objętości bryły liczonej całką podwójną. Mam obliczyć bryły ograniczonej z=x^2+y^2, z=4. czy rzut na OXY będzie r oraz fi, i czy wzór będzie calka z (4-r^3) czy tylko r^3 ?

  11. Klara napisał:

    Witam, mam problem z przejściem na współrzędne sferyczne. Znam wzory, ale nie wiem w jakich granicach po zamianie powinny się znajdować ro,fi i teta

Skomentuj, zapraszam