Kalkulator do Całek Potrójnych (z konkursem)

Jakiś już czas temu niezastąpiony Wolfram udostępnił nam swój kalkulator do całek potrójnych (trochę go przetłumaczyłem):

Jak widać powyżej kalkulator jest bardzo prosty.W pierwszej linijce wpisujemy funkcję podcałkową i kolejność całkowania. Klikamy ‚Policz’. Mamy wynik 🙂

Oznaczenia funkcji w Wolframie

Trochę problemów mogą sprawić oznaczenia, np. sqrt{4-x^2} w granicach całkowania Wolframa trzeba by wpisać jako ‚sqrt(4-x^2)’ – jak w przykładzie powyżej. Zajrzyjcie do Ogólnej Instrukcji Wpisywania Formuł Matematycznych i w razie problemów pytajcie śmiało w komentarzach.

Kalkulator doskonale radzi sobie z obliczeniami bez współrzędnych walcowych, sferycznych, liczbami pi, e – no jednym słowem MIODZIO.

Przykład 1

Używając kalkulatorka obliczymy sobie całkę potrójną z funkcji f(x,y,z)=x{y^2}z-1 w kuli o równaniu x^2+(y-1)^2+z^2=1.

Po narysowaniu obszar całkowania wyglądał by tak (nie pomoże nam w tym na razie kalkulator niestety):

Kula o środku w punkcie (0,1,0)

Mając pod ręką kalkulator nie wchodzimy nawet we współrzędne sferyczne, takie z nas leniuchy. Opisujemy obszar całkowania normalnie współrzędnymi x,y,z.

Rzutem kuli na płaszczyznę (powiedzmy) xOy będzie koło:

Rzut kuli na płaszczyznę xOy (koło)

W tym kółku ‚x’-sy – powiedzmy znowu – niech zmieniają się w stałych granicach od -1 do 1.

‚y’-ki niech zmieniają się w granicach zmiennych, wyliczamy je z równania kuli biorąc za z=0:

x^2+(y-1)^2+z^2=1

x^2+(y-1)^2+0^2=1

x^2+(y-1)^2=1

(y-1)^2=1-x^2

y-1=sqrt{1-x^2} lub y-1=-sqrt{1-x^2}

y=1+sqrt{1-x^2} lub y=1-sqrt{1-x^2}

No i mamy dokładnie granice całkowania dla ‚y’. Granice całkowania dla z wyliczamy (będą to powierzchnie) podobnie z równania:

x^2+(y-1)^2+z^2=1

z^2=1-x^2-(y-1)^2

z=sqrt{1-x^2-(y-1)^2} lub z=-sqrt{1-x^2-(y-1)^2}

Sprzątaniem zupełnie się nie przejmujemy, bo mamy kalkulator.

Podsumowując:

Mamy funkcję podcałkową: f(x,y,z)=x{y^2}z-1

Mamy obszar całkowania:

Granice całkowania

Wpisanie danych do kalkulatora

Funkcję podcałkową i granice całkowania wpisujemy w kalkulator tak:

Kalkulator z wypełnionymi polami

Kolejność całkowania nam się zgadza (najpierw po ‚z’, potem po ‚y’, na końcu w stałych po ‚x’) czyli już tylko klikamy na ‚Policz’  i mamy wynik:

Wynik z kalkulatora

Mamy więc wynik: -4,18879 , policzony zgrabnie i bez współrzędnych sferycznych.

Kurs Całki Wielokrotne

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 5 Lekcji
  • 720 minut nagrań video
  • 50 pytań testowych i mnóstwo przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu całek wielokrotnych w WolframAlpha) i artykuł
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej