Objętość bryły obrotowej – zadanie z haczykiem

W trudniejszych zadaniach na całki oznaczone często warto zachować czujność – zadanie pozornie bardzo ciężkie można rozwiązać prostym wzorem z gimnazjum.

 

Zadanie na objętość bryły obrotowej

Powiedzmy, że mamy policzyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej:

x^2+y^2=4x

kręcącej się (no O.K., niech będzie „obracającej się”) dookoła osi OX. Kilka ruchów porządkujących znanych ze szkoły średniej…

x^2+y^2=4x

x^2-4x+y^2=0

x^2-4x+2^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2+y^2=2^2

…i orientujemy się, że nasza krzywa to po prostu kółeczko o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2. Co teraz? Wyprowadzamy ze wzoru y i forsujemy całką oznaczoną: V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}?

 

Rozwiązanie

Nie… Zatrzymajmy się na chwilę. Wciągnijmy powietrze. Zastanówmy się. Kółeczko… Obraca się… Co nam powstanie w wyniku takiego obrotu? Oczywiście kula. Wzór objętość kuli znamy z gimnazjum:

V=4/3{pi}R^3

Promień już znamy (równy jest dwa), czyli:

V=4/3{pi}2^3=4/3{pi}8=32/3{pi}[j^3]

No i mamy odpowiedź, nie ruszając nawet całek 🙂

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej