Zakazane Wzory Na Całki Nieoznaczone

Znak zakazuProfesorzy na uczelniach mają swoje wymagania. Wielu z nich – dla dobra swoich studentów oczywiście – nie cofnie się przed bardzo szczegółowym określeniem reguł, na jakich mają być rozwiązywane zadania.

Użytkownik mojego Kursu Całek Nieoznaczonych napisał mi na GG tak:

mam prośbę, czy mógłby Pan na swoim FB lub blogu pokazać jak całki w Pana wzorach są doprowadzane do postaci z kartki ? Chodzi mi o wzory nr: 5,9,10,13,14,15,16. Niestety u nas Pani Profesor oznajmiła nam, że tylko te najprostsze mozna wykorzystywać, te bardziej złożone, które wymieniłem trzeba samemu rozbić do podanej postaci. Myślę, że dużo osób byłoby Panu za to wdzięcznych :)

Chodzi o kartkę z wzorami dołączoną do Kursu:

Wzory na całki nieoznaczone

 

A konkretnie o wzory:

5.\quad \int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}

9.\quad \int{tgxdx=-\ln \left| \cos x \right|+C}

10.\quad \int{ctgxdx=\ln \left| \sin x \right|}+C

13.\quad \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C}

14.\quad \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}

15.\quad \int{\frac{dx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C}

16.\quad \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C}

 

Jak nie tymi, to innymi

Ano tak, to prawda, profesorzy często wymagają, żeby stosować te, a nie inne wzory. Albo żeby nie stosować w ogóle niektórych. Albo żeby stosować te, których nie lubimy stosować.

Jedynym wyjściem dla rozsądnego człowieka oczywiście jest w takich sytuacjach całkowite podporządkowanie się. Na sali egzaminacyjnej wykładowca jest prawem i nie ma sensu wyżalać się później znajomym, że profesor nie zaliczył kolokwium, chociaż „powinien”.

Zamiast tego przyjrzę się wymienionym wzorom punkt po punkcie i pokażę jak sobie radzić w każdym przypadku indywidualnie (niestety nie da się ich „objąć” jakąś wspólną regułą). „Radzić”, to znaczy rozwiązywać całki wymagające użycia tego wzoru bez użycia tego wzoru – za to z użyciem wzoru mniej ogólnego, albo wyprowadzenia całki przez podstawienie, czy wymiernej.

No to po kolei:

 

 

5.\quad \int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}

Z tym wzorem to właściwie nie wiem, o co chodzi, wynika on przecież wprost z odwrócenia wzoru na pochodną:
{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\ln a

Tutaj więc nie okazuję całkowitej uległości profesorowi, tylko proszę o wyjaśnienie, jak mam kurka policzyć \int{{{3}^{x}}dx} nie korzystając z wzoru na \int{{{a}^{x}}dx}.

Jak ktoś wpadnie na jakiś ciekawy pomysł, błagam, żeby podzielił się nim z ludzkością w komentarzach pod postem.

 

 

9.\quad \int{tgxdx=-\ln \left| \cos x \right|+C}

Dobra, wracamy do gry.

Ten wzór nie wynika bezpośrednio z odwrócenia żadnego wzoru na pochodną.

Jeżeli umawiamy się, że go nie znamy, całkę \int{tgxdx} możemy policzyć przez podstawienie:

 

Całka z tgx

 

 

10.\quad \int{ctgxdx=\ln \left| \sin x \right|}+C

Tutaj analogicznie do poprzedniej:

Całka z ctgx

 

 

13.\quad \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C}

Ten wzór to postać ogólna wzoru:

\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+1}=arctgx+C} lub: \int{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}=arctgx+C}

Panu profesorowi chodzi o to, żeby skorzystać z wzoru: \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+1}=arctgx+C} (wynikającego z prostego odwrócenia wzoru na pochodną), a nie korzystać z wzoru: \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C} (który jest już wzorem w postaci „przetworzonej”).

Robimy to w następujący sposób (przez przekształcenie i podstawienie):

Przekształcenie ogólnego wzoru na całkę z arctgx

Na konkretnym przykładzie mogło by to wyglądać tak:

Przykład na przekształcenie ogólnego wzoru na całkę na wzór szczególny

 

 

14.\quad \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}

Ten wzór różni się od poprzedniego, nie chodzi tu o to, żeby skorzystać z jakiegoś wzoru, w którym zamiast ‚a’ jest ‚1’ (takiego wzoru nie ma). Alternatywą do skorzystania z tego wzoru jest tu przeprowadzenie rozkładu na ułamki proste jak w całkach wymiernych (pokazałem jak to się robi na Lekcji 5 Kursu Całek Nieoznaczonych).

Faktycznie, \frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{\left( x-a \right)\left( x+a \right)} i dalej można rozkładać na ułamki proste. Na przykład:

\frac{1}{{{x}^{2}}-9}=\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}

\frac{1}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}

Dalej mnożymy przez \left( x-3 \right)\left( x+3 \right), liczymy stałe A, B porównując wielomiany i wszystko tak, jak pokazałem na Lekcji 5 Kursu.

 

 

15.\quad \int{\frac{dx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C}

Tutaj znowu wzór w postaci ogólnej: \int{\frac{dx}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C} należy doprowadzić do wzoru w postaci szczególnej: \int{\frac{dx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\arcsin x+C}.

Robimy to podobnie jak we wzorze 13):

Przejście ze wzoru ogólnego na szczególny we wzorze z arcsin

Na konkretnym przykładzie mogło by to wyglądać tak:

Zastosowanie szczególnej postaci wzoru z arcsin

 

 

16.\quad \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C}

Sprawa jest bardziej skomplikowana, wymaga zastosowania tzw. „podstawień hiperbolicznych” (chodzi o sinusa i cosinusa hiperbolicznego). W tym poście zostawiam ten temat, wkrótce na pewno napiszę o tych podstawieniach.

 

 

Tyle wzorów, o które pytał użytkownik, od siebie dodam, że dodane do listy podstawowych wzorów przeze mnie wzory:

\int{{{e}^{ax}}dx}=\frac{1}{a}{{e}^{ax}}+C

\int{\sin axdx}=-\frac{1}{a}\cos ax+C

\int{\cos axdx}=\frac{1}{a}\sin ax+C

Wyprowadza się przez proste podstawienie: t=ax

Czyli mając na przykład całkę: \int{{{e}^{-x}}dx} i NIE mogąc skorzystać (ze względu na upodobania profesora) ze wzoru \int{{{e}^{ax}}dx}=\frac{1}{a}{{e}^{ax}}+C, stosujemy podstawienie t=-x i spokojnie liczymy dalej.

 

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 13000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Radek napisał:

    Odwalasz kawał pięknej roboty, przyjacielu :) Bez Twoich wyjaśnień matematyka to, czarny, gęsty las, pełen niebezpiecznej, drapieżnej zwierzyny… A po obejrzeniu Twojego filmu – matma staje się łąką pełną kwiatów oblaną słońcem :)
    Dzięki!

  2. jeśli chodzi o wzór 5. to można zamienić a^x na e^{xlna} i wtedy przez podstawienie też : ) .

  3. Kasia napisał:

    Super, bardzo przydatne objaśnienia, gdyż u nas na uczelni właśnie mieliśmy ten sam problem, dziękujemy!! :)

  4. Sebastian napisał:

    Jeżeli uda się zaliczyć matematykę to tylko dzięki kursom:) Coś czuję, że jak nawiedziłby Pan Kraków dostałby Pan zaproszenie na co najmniej kilka imprez xD. Wesołych Świąt!

  5. Michał napisał:

    Kiedyś, gdy będę już za stary by się uczyć , zasiądę przy kominku , zapalę fajkę i opowiem wnukom o Kursie E-trapez i panu Krystianie ! To Lśniący Diament , któremu za wszystko dziękuję , ponieważ dzięki tym kursom przebiłem się przez 2 semestry trudnej matematyki na Politechnice Warszawskiej . :D Wesołych Wielkanocnych

  6. Mateusz napisał:

    Dzień dobry. Wpadłem na ciekawy (chyba) pomysł zareklamowania kursów na jeszcze szerszą skalę. Co powiedziałby Pan na koszulki e-trapez z logiem firmowym? Oczywiście nie zajmuję się tym, rzuciłem tylko taką propozycję. Koszulki można byłoby albo kupować, mogłyby być wysyłane wraz z kursami, ze zniżką dla stałych bywalców. Noszone przez Nas koszulki głównie na uczelniach, akademikach zrobiłyby na prawdę niezłą reklamę. Co Pan o tym sądzi? Pozdrawiam

  7. Krystian napisał:

    Witam.
    Słyszałem o reklamie żebyś był Pan bardziej rozpoznawalny. Otóż Panie Krystianie mój imienniku walisz do mniejszej rzeszy ludzi tzn studentów. Z takim talentem powinien Pan zrobić kursy dla licealistów. Napisać tylko ze to kurs do matury i zarobiłbyś się Pan na Amen. Licealiści głupi naród jak kasę mają to trwonią. Są jeszcze technika ale tam to są inteligentne lenie i nie ma co liczyć kupno twoich kursów. Przykład: Mam u siebie w klasie rzeszę techników i większość z nich ma twoje kursy ale co z tego skoro nawet nie chce im się ich oglądać. Pomyśl coś Panie Krystianie bo szkoda twojego talentu. Nie spotkałem się z osobą a znam ich sporo która po twoim kursie byłaby niezadowolona. Ostatnio było koło z analizy i ci co oglądali twoje kursy i to powierzchownie dostali 15-17 pkt na 20. Już po 5 lekcjach można było zdać te koło i mieć spokój. Jak byś zrobił takie kursy dla licealistów w końcu przyczyniłbyś się do wzrostu kandydatów na polibudy. Czekam na twoje zdanie: Dzień dobry. Dzięki za pomysł, pomyślimy – zobaczymy.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dzięki za radę.

      Parę razy myślałem o zrobieniu Kursów dla szkół średnich. Problem w tym, że ja naprawdę wolę studentów i matematykę na studiach :)

      • Morcin napisał:

        lekcje etrapez powinny być sprzedawane w empiku :D a co do kursów maturalnych to szkoda że nie ma bo zdawalność matur z mat. by poszła w górę ;)

  8. Agata napisał:

    A ja mam problem z takimi przykładami int{}{}{(4+x)sqrt{-x^2-x}dx} int{}{}{dx/{e^{2x}+1}} int{}{}{sqrt{arcsinx}dx}

    • Krystian Karczyński napisał:

      Czy o takie całki chodzi?

    • Krystian Karczyński napisał:

      To może zacznijmy od tej ostatniej. Rozwiązujemy najpierw przez części, a później przez podstawienie.

      \int{\arcsin \sqrt{x}}dx=\left| \begin{matrix}     u=\arcsin \sqrt{x}&{v}'=1\\     {u}'=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}&v=x\\  \end{matrix} \right|=

      =x\arcsin \sqrt{x}-\int{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\cdot xdx}=x\arcsin \sqrt{x}-\frac{1}{2}\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx}=\left| \begin{matrix}    {{t}^{2}}=1-x\Rightarrow x=1-{{t}^{2}}\\   2tdt=-dx\\   dx=-2tdt\\  \end{matrix} \right|=

      =x\arcsin \sqrt{x}-\frac{1}{2}\int{\frac{\sqrt{1-{{t}^{2}}}}{t}\left( -2tdt \right)}=x\arcsin \sqrt{x}+\int{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}

      Tą całkę można rozwiązać tak jak pokazywałem w moim Kursie Całek Nieoznaczonych (metodą współczynników nieoznaczonych), a można inaczej, przez sprytne podstawienie:

      =x\arcsin \sqrt{x}+\int{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}=\left| \begin{matrix}    \sin u=t\Rightarrow \sqrt{1-{{t}^{2}}}=\cos u\\   \cos udu=dt\\  \end{matrix} \right|=
      =x\arcsin \sqrt{x}+\int{\cos u\cos udu}=x\arcsin \sqrt{x}+\int{{{\cos }^{2}}udu}=

      Całkę \int{{{\cos }^{2}}udu} pozwolę już sobie przyspieszyć, rozwiązujemy tak jak pokazałem w Kursie i mam:

      =x\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\sin u\cos u=x\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{2}\arcsin t+\frac{1}{2}t\sqrt{1-{{t}^{2}}}=

      =x\arcsin \sqrt{x}+\frac{1}{2}\arcsin \sqrt{1-x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1-x}+C

      • Agata napisał:

        wkradł sie tylko mały błąd, w pochodnej na arcsinx brakuje kwadratu przy x, co zmienia i utrudnia ten przykład niestety

        • Krystian Karczyński napisał:

          To ni błąd, po prostu trochę skróciłem w głowie. Do kwadratu podnoszę nie ‚x’, tylko funkcję wewnętrzną arcsin, czyli \sqrt{x}. Rozpisane liczenie pochodnej wyglądało by tak:

          {{\left( \arcsin \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}

    • Krystian Karczyński napisał:

      Co do drugiej całki, trzeba zauważyć, że \int{\frac{dx}{{{e}^{2x}}+1}}=\int{\frac{dx}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+1}} i podstawić t={{e}^{x}}:

      \int{\frac{dx}{{{e}^{2x}}+1}}=\int{\frac{dx}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+1}}=\left| \begin{matrix}    &t={{e}^{x}}\\    &dt={{e}^{x}}dx\\    &dx=\frac{dt}{{{e}^{x}}}\\    &dx=\frac{dt}{t}\\   \end{matrix} \right|=\int{\frac{\tfrac{dt}{t}}{{{t}^{2}}+1}}=\int{\frac{dt}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}}

      A dalej już oczywiście wymierna całka (polecam Lekcję 5 mojego Kursu).

    • Krystian Karczyński napisał:

      Co do pierwszej całki, to ja bym spróbował podstawieniami Eulera.

      Nie ma ich w Kursie, ale opisałem je na blogu tutaj: Podstawienia Eulera III rodzaju

      Robię krok po kroku, tak jak opisałem w powyższym poście:

      -{{x}^{2}}-x rozkładam na czynniki: -{{x}^{2}}-x=x\left( -x-1 \right)

      Moje pierwiastki trójmianu to: {{x}_{1}}=0,\quad {{x}_{2}}=-1

      Stosuję więc odpowiednie podstawienie:

      \sqrt{-{{x}^{2}}-x}=tx

      -{{x}^{2}}-x={{t}^{2}}{{x}^{2}}

      x\left( -x-1 \right)={{t}^{2}}{{x}^{2}}\quad /:x

      -x-1={{t}^{2}}x

      {{t}^{2}}x+x=-1

      x\left( {{t}^{2}}+1 \right)=-1

      x=\frac{-1}{{{t}^{2}}+1}

      Teraz liczę \sqrt{-{{x}^{2}}-x} korzystając z pierwszego podstawienia \sqrt{-{{x}^{2}}-x}=tx:

      \sqrt{-{{x}^{2}}-x}=t\left( \frac{-1}{{{t}^{2}}+1} \right)

      \sqrt{-{{x}^{2}}-x}=\frac{-t}{{{t}^{2}}+1}

      Teraz liczę dx wychodząc od x=\frac{-1}{{{t}^{2}}+1}:

      dx=\frac{2t}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dt

      Wstawiam moje wyliczone x,\quad \sqrt{-{{x}^{2}}-x},\quad dx do całki \int{\left( 4+x \right)\sqrt{-{{x}^{2}}-x}}dx i mam:

      \int{\left( 4+\frac{-1}{{{t}^{2}}+1} \right)\frac{-t}{{{t}^{2}}+1}}\frac{2t}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dt=-2\int{\left( 4-\frac{1}{{{t}^{2}}+1} \right)\frac{{{t}^{2}}}{\left( {{t}^{2}}+3 \right)}dt}

      Jeszcze tylko mały szczegół: policzyć do końca tą całkę (trzeba ją chyba będzie rozbić na dwie wymierne…) :)

  9. Dawid napisał:

    Czy mógłby Pan wyjaśnic pojęcie rózniczkowalnosci, jak zbadac rózniczkowalnosc funkcji? oraz jaka jest róznica miedzy całka oznaczona a nieonzaczona?

  10. Dawid napisał:

    do swojego wcześniejszego pytania dołaczam jeszcze pojęcie „kiedy pochodna jest ciagła, kiedy dana funkcja nie ma pochodnej ? Jak to szybko sprawdzic i ładnie wytłumaczy Panu profesorowi?;;)

  11. Kamil napisał:

    Co do 16-tego, wystarczy podstawienie Eulera ;)

    (x^2+c)=x-t

    podnosimy obustronnie do kwadratu, wyznaczamy t ; dx/dt będzie pochodną z otrzymanego wyrażenia itd. itd. ;)

  12. Jan napisał:

    Krystian jak zawsze pokazuje klasę!

  13. Mariusz napisał:

    Całkę 16. można podstawieniem Eulera
    \sqrt{x^2+q}=t-x
    Podstawienia area i inne takie cuda nie są konieczne

  14. Mariusz napisał:

    Kamil zdaje się zapomniał pierwiastka
    a ja nie zauważyłem jego komentarza

  15. Magda napisał:

    Mam pytanie, czy całkę z tgx można policzyć w inny sposób niż przez podstawienie?

  16. Piotrek napisał:

    witam, pomógł by pan w rozwiązaniu takiej całki x^2+2x+1 całość podzielona x^2+2×-3 dx

  17. Kamil napisał:

    A jak wyprowadza się wzór na całkę z kwadratu iksa? Chodzi mi o regułę podstawienia liniowego.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Chodzi o wzór:

      \int{{{x}^{2}}dx}=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+C

      …tutaj nie ma co wyprowadzać, ten wzór powstał przez prościutkie odwrócenie wzoru na pochodną:

      {{\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+C \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}

      Z tą „regułą podstawienia liniowego” zupełnie nie wiem, o co chodzi, przykro mi…

Skomentuj, zapraszam