Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych?

W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji f(x) to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do f(x) wtedy, kiedy jej pochodna równa jest f(x).

 

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji f(x) to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje f(x). Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji x^2 nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje x^2. Jakie mogą być to funkcje? Na przykład: 1/3x^3. Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji 1/3x^3+2 też daje x^2. Analogicznie:

(1/3x^3-4)prime=x^2

(1/3x^3-100)prime=x^2

(1/3x^3+sqrt{2})prime=x^2

i ogólnie:

(1/3x^3+C)prime=x^2 – gdzie C oznacza dowolną stałą. Stąd więc:

int{}{}{x^2dx}=1/3x^3+C

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Kurs Całki Nieoznaczone

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 7 Lekcji
  • 6 godzin nagrań video
  • 70 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu całek w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej