Podstawienia Eulera II rodzaju

Podstawienia Eulera I rodzaju (dla a>0) – powtórzenie

W poprzednim poście:

Podstawienia Eulera I rodzaju

zajęliśmy się całkami typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w których a>0.

Rozbroiliśmy także przykładową całkę spełniającą ten warunek, tzn.

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

 

Co jednak, jeśli a w trójmianie będzie ujemne (przypadek, gdy a=0 można pominąć, bo wtedy nie będzie to w ogóle trójmian kwadratowy i całkę rozwiąże się przez podstawienie prostsze t^2=bx+c, niż podstawienie Eulera) ?

Wtedy pomóc nam może (ale nie musi…) drugi rodzaj podstawień Eulera:

 

Podstawienie Eulera II rodzaju (dla c>0)

Mając całkę typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w której c>0, stosujemy podstawienie typu:

xt+sqrt{c}=sqrt{ax^2+bx+c}

, które znowu podnosimy obustronnie do kwadratu, w którym tym razem składniki z c się skracają i które trzeba jeszcze podzielić obustronnie przez x, żeby wyjść na zależność liniową, z której wyznaczymy przy pomocy zmiennej t w kolejności:

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

Podstawimy to wszystko do całki:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

i wyjdziemy znów na całkę wymierną, która – powtarzam – na ogół jest żmudna.

Ruszajmy więc z przykładem.

 

Przykład

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{2+x-x^2}}}}

W trójmianie kwadratowym trochę pozmieniana kolejność składników, ale chyba jasne jest, że a=-1,b=1,c=2. Czyli, że a nie jest większe od 0 (nie zastosujemy więc I rodzaju podstawień Eulera), ale c>0 (czyli zastosujemy II rodzaj).

Podstawiamy więc:

xt+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

Podnosimy obie strony do kwadratu:

(xt+sqrt{2})^2=(sqrt{2+x-x^2})^2

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt+2=2+x-x^2

Składnik 2 się skraca (tak ma być):

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt=x-x^2

i teraz coś, czego nie było w I rodzaju podstawień, dzielimy obustronnie przez x:

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt=x-x^2/:x

xt^2+2sqrt{2}t=1-x

Dalej wyznaczamy x:

xt^2+x=1-2sqrt{2}t

x(t^2+1)=1-2sqrt{2}t

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

Mamy x wyznaczone przy pomocy zmiennej t. Teraz wyznaczamy sqrt{2+x-x^2}. Na początku mieliśmy podstawienie:

xt+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

x mamy już wyznaczone, więc tylko wstawiamy:

{{1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}}t+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+sqrt{2}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+sqrt{2}{{t^2+1}/{t^2+1}}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+{sqrt{2}{t^2}+sqrt{2}}/{t^2+1}

sqrt{2+x-x^2}={t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}

Pozostało nam do wyznaczenia tylko dx. Obliczymy je licząc pochodną z x:

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

dx={{(1-2sqrt{2}t){prime}(t^2+1)-(1-2sqrt{2}t)(t^2+1){prime}}/(t^2+1)^2}dt

dx={{-2sqrt{2}(t^2+1)-(1-2sqrt{2}t)2t}/(t^2+1)^2}dt

dx={{-2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t+4sqrt{2}t^2}/(t^2+1)^2}dt

dx={{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt

Mamy więc wyznaczone:

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

sqrt{2+x-x^2}={t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}

dx={{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt

, wszystko przy pomocy zmiennej t. Bierzemy całkę:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{2+x-x^2}}}}

i wstawiamy:

int{}{}{{{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt}/{{{1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}}{{t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}}}}

Bierzemy się za sprzątanie:

int{}{}{{{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}}/{{(1-2sqrt{2}t)(t-sqrt{2}t^2+sqrt{2})}/(t^2+1)^2}dt}

int{}{}{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/{(1-2sqrt{2}t)(t-sqrt{2}t^2+sqrt{2})}dt}

\int{\frac{-2\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}{\left( 1-2\sqrt{2}t \right)\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}dt}

\int{\frac{-2}{1-2\sqrt{2}t}dt}=\left| \begin{matrix}  &u=1-2\sqrt{2}t\\  &du=-2\sqrt{2}dt\\  &dt=\frac{du}{-2\sqrt{2}}\\  \end{matrix} \right|=\int{\frac{-2}{u}\frac{du}{-2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{du}{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C

A wracając  się z podstawieniem:

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C

Trzeba jeszcze wrócić z t do x. Naszym podstawieniem Eulera było

xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}

Skąd

t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}

Czyli nasze rozwiązanie to

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C

 

Co z innymi przypadkami?

Wiemy, że kiedy w całce:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

  • a>0 – stosujemy I rodzaj podstawień
  • c>0 – stosujemy II rodzaj podstawień

Co jednak, jeśli ani a, ani c nie są większe od zera? O tym w następnym poście, w którym omówię III rodzaj podstawień Eulera i pokażę, że temat będzie w już wyczerpany, tzn. do każdej całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

…dobierzemy któryś z trzech rodzajów podstawień.

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej