Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Całki Oznaczone – Obliczanie z Definicji, Całkowalność Funkcji Ciągłej

Całki Oznaczone Wykład 2Pani profesor i całki oznaczone na tablicy

Temat: Całkowalność dowolnej funkcji ciągłej

Streszczenie

Na poprzednim Wykładzie zdefiniowałem całkę oznaczoną jako pewną sumę. Przypomnij sobie tą definicję i zastanów się, czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Definicja całki oznaczonej

Pole P przybliżone trzema prostokątami z zaznaczonymi punktami podziału x1, x2 i punktami xi1, xi2, xi3

 

Obrazek powyżej dla przypomnienia, a definicja szła tak:

Mamy funkcje ciągłą f(x) określoną na przedziale [a,b]. Jej całką oznaczoną na tym przedziale nazywamy sumę:

Suma całkowa

 

, gdzie {Delta}x_n to długości przedziałów, na które podzielony jest odcinek [a,b], a punkty {xi}_n to punkty wewnątrz tych przedziałów.

Przy czym (i to jest bardzo ważne „przy czym”):

  • długości wszystkich przedziałów {Delta}x_n muszą dążyć do 0 wraz ze wzrostem n
  • ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych przedziałów {Delta}x_n
  • ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych punktów {xi}_n wewnątrz przedziałów {xi}_n

Zwróć uwagę na te dwa ostatnie warunki. Powiedzmy, że chcemy obliczyć – korzystając z definicji – prościutką całkę:

int{0}{1}{x^2{dx}}

Na wykresie ta całka to było by pole zaznaczone poniżej:

Pole pod funkcją x^2 w granicach od 0 do 1

Aby obliczyć to pole z definicji, bez użycia dodatkowy twierdzeń, NIE wystarczyło by na przykład podzielić odcinek [0,1] na n RÓWNYCH odcinków (każdy miałby długość: 1/n):

Pole pod funkcją x^2 w granicach od 0 do 1 z zaznaczonym podziałem przedziału [0,1]

NIE WYSTARCZY teraz obranie punktów {xi}_k na przykład równo w środku tych przedziałów:

Pole pod funkcją x^2 w granicach od 0 do 1 zaznaczonymi punktami pośrednimi xi

NIE WYSTARCZY obliczyć tak otrzymaną sumę całkową (czyli geometrycznie rzecz biorąc zsumować pola tych prostokątów):

 

{Delta}x_1={Delta}x_2={Delta}x_3=...={Delta}x_{n-1}={Delta}x_n=1/n (odcinek o długości 1 dzielmy na n równych części)

{xi}_1={1/n}/2=1/{2n}, czyli: f({xi}_1)=(1/{2n})^2 (bo f(x)=x^2)

{xi}_2=1/n+{1/n}/2=3/{2n}, czyli: f({xi}_2)=(3/{2n})^2

{xi}_3=1/n+1/n+{1/n}/2=5/{2n}, czyli: f({xi}_2)=(5/{2n})^2

{xi}_{n}={2n-1}/{2n}, czyli: f({xi}_n)=({2n-1}/{2n})^2

Moja suma będzie więc równa:

Suma całkowa dla funkcji f(x)=x^2

Korzystając ze wzoru na sumę kwadratów n kolejnych liczby nieparzystych (jest coś takiego):

Suma całkowa dla funkcji f(x)=x^2 cd.

 

No ale to wszystko NIE WYSTARCZY (mimo, że oczywiście wynik jest dobry i to pole jest faktycznie równe 1/3), aby policzyć z definicji całkę:

int{0}{1}{x^2{dx}}

 

Dlaczego?

Przecież:

  1. Podzieliłem odcinek [0,1] na ‚n’ równych odcinków
  2. Wybrałem pośrodku każdego takiego odcinka punkt {xi}_k
  3. Obliczyłem sumę długości tych odcinków przemnożonych przez wartość funkcji w punktach {xi}_k (czyli pola prostokątów)
  4. Ta suma wyszła skończona (1/3), a długości ‚n’ równych odcinków były nieskończenie małe przy ‚n’ dążącym do nieskończoności

Dlaczego więc nie mogę więc (jeszcze) stwierdzić, że:

int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3

?

Ano niestety dlatego, że w samej definicji całki oznaczonej jest warunek, że owszem, suma całkowa ma być zbieżna (i jest), ale oprócz tego jest tam napisane, że ma być zbieżna do jednej i tej samej liczby dla dowolnego podziału przedziału [0,1] i dla dowolnego wyboru punktów {xi}_k.

Ja natomiast jedyne co zrobiłem, to wykazałem, że suma jest zbieżna do 1/3 dla jednego, wybranego przeze mnie podziału odcinkami {Delta}x_k (był to akurat podział na równe części) i dla jednego, wybranego przeze mnie sposobu obrania punktów {xi}_k (wybrałem sobie równo pośrodku przedziałów {Delta}x_k).

Nie oznacza to jednak jeszcze, że:

int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3

Aby to wykazać (na gruncie samej, samiusieńkiej definicji) musiałbym jakoś pokazać, że dla wszystkich sposobów podziału odcinka [a,b] przedziałami {Delta}x_k i dla wszystkich możliwych wyborów punktów pośrednich {xi}_k, zawsze i we wszystkich przypadkach suma całkowa równa jest 1/3.

Czy znasz już odpowiedź na pytanie testowe z początku wykładu:

czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

?

Oczywiście nie będę nawet próbować dobierać się do tak określonego samobójczego zadania. Potrzebuję czegoś więcej, dodatkowej artylerii. Będzie nią nowe twierdzenie (czyli z bólem serca wykraczam już poza samą, czystą definicję).

 

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Każda funkcja ciągła w przedziale [a,b] jest w tym przedziale całkowalna.

Twierdzenie proste jak konstrukcja cepa, prawda? Ale co właściwie z niego wynika i w czym może mi pomóc w obliczeniu z definicji całki:

int{0}{1}{x^2{dx}} ?

Zapiszę je może innymi słowami i samo mi to wyjdzie:

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b], to dla dowolnego podziału odcinka [a,b] przedziałami {Delta}x_k i dla dowolnego wyboru punktów pośrednich {xi}_k jej suma całkowa zbiega do tej samej liczby.

Prawda? Bo taki jest właśnie sens słowa „całkowalna”. A logicznym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest:

  • Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale [a,b]
  • Jeżeli znalazłem taki jeden z możliwych podziałów przedziałami {Delta}x_k i punktami {xi}_k, dla którego suma całkowa zbiega do pewnej liczby

, to:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej dla każdego innego podziału każda „inna” suma całkowa będzie zbiegać do tej samej liczby (bo jeśli jest ciągła, to dla dowolnego zbiega do tej samej)!

Czyli – mając funkcję ciągłą – możesz obliczyć jej sumę całkową dla dowolnego wybranego przez Ciebie podziału (np. podziału na równe odcinki i punktach pośrednich pośrodku), powołać się na twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej i wyznaczyć w ten sposób (w końcu) całkę oznaczoną z definicji.

Wracając więc do mojego przykładu na całkę:

int{0}{1}{x^2{dx}}

Wszystko było w porządku i wszystkie obliczenia były ważne, na końcu jednak trzeba by jeszcze dopisać:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej (funkcja x^2 jest oczywiście funkcją ciągłą na przedziale [0,1]), z tego, że suma całkowa dla wybranego przeze mnie podziału na {Delta}x_k i {xi}_k wyszła równa 1/3 wynika, że dla dowolnego innego podziału też jest ona równa 1/3, a więc:

int{0}{1}{x^2{dx}}=1/3

 

Dowód twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej odłożę sobie na inny raz.

Teraz pokażę Ci dwa inne przykłady na obliczanie całki oznaczonej z definicji.

 

Przykład 2

Oblicz z definicji: int{0}{1}{x^3dx}.

Dzielę odcinek [0,1] na n równych części i punkty {xi}_k obieram równo na początku każdego przedziału {Delta}x_k:

Wykres funkcji x^3, z której liczę całkę oznaczoną z definicji

Mam więc dla funkcji f(x)=x^3:

{Delta}x_1=1/n, oraz f({xi}_1)=0^3=0

{Delta}x_2=1/n, oraz f({xi}_2)=(1/n)^3

{Delta}x_3=1/n, oraz f({xi}_3)=(2/n)^3

{Delta}x_n=1/n, oraz f({xi}_n)=({n-1}/n)^3

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Suma całkowa dla funkcji x^3

Korzystam ze wzoru na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych (1^3+2^3+3^3+...+n^3=({n(n+1)}/2)^2), zmodyfikowanego, bo wyrazów mam n-1:

Wynik sumy całkowek z funkcji x^3

Funkcja f(x)=x^3 jest funkcją ciągłą na przedziale [0,1.

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

int{0}{1}{x^3dx}=1/4

 

Przykład 3

Oblicz z definicji: int{0}{{pi}/2}{sinxdx}.

Dzielę odcinek [0,{pi}/2] na n równych części i punkty {xi}_k obieram na końcu każdego przedziału {Delta}x_k:

Pole obszaru do policzenia pod wykresem funkcji sinx

Mam więc dla funkcji f(x)=sinx:

{Delta}x_1={{pi}/2}/n, oraz f({xi}_1)=sin{{pi}/2}/n

{Delta}x_2={{pi}/2}/n, oraz f({xi}_2)=sin(2*{{{pi}/2}/n})

{Delta}x_3={{pi}/2}/n, oraz f({xi}_3)=sin(3*{{{pi}/2}/n})

{Delta}x_n={{pi}/2}/n, oraz f({xi}_3)=sin(n*{{{pi}/2}/n})

Moja suma całkowa będzie więc równa:

Suma całkowa dla funkcji sinx

Jest ona oczywiście ciężka, ale pomocny będzie wzór (można wykazać go indukcyjnie):

Wzór trygonometryczny na sumę wielokrotności sinusów

Po skorzystaniu z tego wzoru, będę miał:

Obliczanie sumy całkowej dla sinx

Zatem, zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej:

int{0}{{pi}/2}{sinxdx}=1

 

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

 

 

Kliknij, aby przejść do sum całkowych, które pomogą w dowodzie twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję całki oznaczonej (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach oznaczonych

 

Kurs Całki Oznaczone, Niewłaściwe i Zastosowania Całek

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 6 Lekcji
  • 400 minut nagrań video
  • 60 pytań testowych i 100 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (o liczeniu całek oznaczonych i niewłaściwych w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

Jedna odpowiedź na “Całki Oznaczone – Obliczanie z Definicji, Całkowalność Funkcji Ciągłej”

  1. Joasia 19 czerwca 2015 o 11:36 Link do komentarza

    Dziękuję za ten wykład 🙂 Bardzo się przydał 🙂 Pozdrawiam !

Dodaj komentarz