Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Co to jest całka nieoznaczona?

Całki Nieoznaczone Wykład 1

 

Temat: Całki nieoznaczone. Wprowadzenie. Definicja.

 

Streszczenie

Na wykładzie wprowadzimy pojęcie całek nieoznaczonych. Do zrozumienia Wykładu KONIECZNA jest znajomość i zrozumienie tego, czym są pochodne funkcji (sama umiejętność ich liczenia z wzorków nie wystarczy) – wystarczą na przykład moje dwa pierwsze wykłady z pochodnych funkcji na tym blogu.

Video

Na filmiku pokazuję rzeczy związane z Wykładem – możesz go obejrzeć przed przeczytaniem reszty:

Czym była pochodna funkcji? Czym będzie całka nieoznaczona?

Do pojęcia pochodnej funkcji na Wykładzie 1 z Pochodnych Funkcji doszliśmy następująco:

  1. Mierząc ze stoperem odcinki drogi pokonywane przez sanki wyznaczyliśmy funkcję drogi w zależności od czasu (wyszła nam ona wtedy: y=1/2{x^2})
  2. Biorąc coraz bardziej precyzyjną miarę prędkości średnich obliczyliśmy dokładną prędkość sanek w 2 sekundzie ruchu
  3. Stwierdziliśmy, że sposób na wyznaczenie prędkości w 2 sekundzie ruchu moglibyśmy zastosować w każdej innej sekundzie ruchu i wyznaczyć odpowiadającą jej prędkość i w ten sposób doszliśmy do pojęcia pochodnej funkcji – czyli funkcji przyporządkowującej kolejnym sekundom ruchu wartości prędkości sanek w tych sekundach

Skracając: mając daną funkcję zależności drogi od czasu wyznaczyliśmy funkcję zależności prędkości od czasu.

Nietrudno sobie wyobrazić, że często działać trzeba ODWROTNIE: mając daną funkcję prędkości trzeba wyznaczyć funkcję zależności drogi od czasu. W naszym przykładzie z sankami moglibyśmy sobie wyobrazić, że siedzimy na sankach i spisujemy prędkości sanek z licznika (nie wiem, czy są jakieś sanki z prędkościomierzem ale na pewno kiedyś takie wymyślą). Mając dane w jaki sposób zmieniała się prędkość w zależności od czasu pytalibyśmy się, jak zmieniała się droga w zależności od czasu.

Wyznaczenie takiej funkcji było by właśnie całkowaniem (ścisłe definicje pójdą za moment).

Widać, że problem nie jest wcale taki wydumany – często mamy prędkość, a nie mamy drogi i nie chodzi wcale zawsze o prędkość mechaniczną.

Czym była pochodna funkcji w innym rozumieniu? Czym będzie całka nieoznaczona?

Pojęcie pochodnej funkcji wprowadziłem również na 2 Wykładzie z Pochodnych Funkcji nie odwołując się już do jakiś prędkości, tylko:

  1. Definiując styczną do wykresu funkcji w punkcie (jako położenie graniczne siecznych)
  2. Definiując pochodną funkcji w punkcie jako tangens kąta nachylenia tej stycznej (do osi OX)
  3. Definiując pochodną funkcji jako funkcję tych wszystkich wartości tangensów z punktu 2 (w każdym punkcie x była jakaś styczna i jakiejś jej nachylenie)

Czyli skracając: mieliśmy dany wykres funkcji, wyznaczaliśmy jej styczne w każdym punkcie (tangensy nachyleń tych stycznych to były wartości pochodnych).

Domyślamy się już, czym będzie całka nieoznaczona w tym wypadku? Odwróceniem całej sprawy. Mając dane styczne do wykresu trzeba wyznaczyć wykres.

Definicja całki nieoznaczonej

Definicja funkcji pierwotnej i całkowania

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale:

F{prime}(x)=f(x)

Znalezienie wszystkich całek nieoznaczonych (funkcji pierwotnych) nazywa się całkowaniem.

Przykłady:

  1. Funkcja F(x)=x jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=1, bo (x){prime}=1
  2. Funkcja F(x)=x^2 jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=2x, bo (x^2){prime}=2x
  3. Funkcja F(x)=e^x jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=e^x, bo (e^x){prime}=e^x
  4. Funkcja F(x)=x^2+1 jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=2x, bo (x^2+1){prime}=2x
  5. Funkcja F(x)=e^x-17 jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=e^x, bo (e^x-17){prime}=e^x

Zauważmy, że na przykład funkcjami pierwotnym funkcji e^x są zarówno funkcje: e^x, jak i: e^x+2, e^x-3, czy: e^x+1000 (bo ich pochodne zawsze równe będą e^x).

W ten sposób dochodzimy do twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli w pewnym przedziale F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną f(x).

Każda funkcja pierwotna funkcji f(x) może być przedstawiona w postaci F(x)+C

Dowód

Dowód pierwszej części twierdzenia jest prosty, z działań na pochodnych wiemy, że: delim{[}{F(x)+C}{]}{prime}=F{prime}(x).

Z założenia (o tym, że F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x)) wiemy, że:

F{prime}(x)=f(x)

Mamy zatem:

delim{[}{F(x)+C}{]}{prime}=F{prime}(x)=f(x)

Co dowodzi, że F(x)+C jest funkcją pierwotną funkcji f(x).

Co do drugiej części twierdzenia: weźmy jakąś dowolną, byle jaką, funkcję pierwotną funkcji f(x) różną od F(x). Oznaczmy ją: G(x).

Oczywiście, skoro F(x) i G(x) są to funkcje pierwotne funkcji f(x), to:

F{prime}(x)=f(x)

G{prime}(x)=f(x)

Czyli mają taką samą pochodną. Funkcje, które mają taką samą pochodną różnią się tylko o stałą (wynika to z wcześniejszych twierdzeń analizy – sorry, nie mam ich jeszcze na blogu – przyp. Krystian Karczyński), czyli:

G(x)=F(x)+C

Co należało dowieść.

Z Twierdzenia wynika, że dowolne funkcje pierwotne różnią się tylko o stałą, czyli całą rodzinę funkcji pierwotnych można zapisać jako:

F(x)+C, gdzie F(x) jest to jakaś, byle jaka, funkcja pierwotna.

W sposób naturalny więc dochodzimy do naszego dzisiejszego gwoździa programu, czyli do tego, jaka jest…

Definicja całki nieoznaczonej

Całką nieoznaczoną nazywamy rodzinę funkcji pierwotnych funkcji f(x) przedstawioną w postaci F(x)+C. Oznaczamy ją jako:
int{}{}{f(x)dx}=F(x)+C

Znaczek: int{}{}{} jest bardzo stary (historycznie) i traktuj go jak zwykłe oznaczenie całki (tak samo jak znaczek: (~){prime} oznaczający obliczanie pochodnych).
Znaczek: dx w całce oznacza właściwie różniczkę, ale skoro jak na razie na moich Wykładach również za dużo o różnicce nie pisałem traktuj go po prostu jako część oznaczenia całki.

Uwaga 1

Zauważ, że z definicji funkcji pierwotnej (pewna funkcja w pewnym przedziale) wynika, że całki będziemy obliczać zawsze z funkcji określonych w pewnych przedziałach x, a nie – tak jak w pochodnych bywało – ich wartości w punktach przy użyciu granic. Oczywiście całka jako funkcja przyjmuje jakąś wartość w punkcie, ale kolejność będzie zawsze taka:

  1. Obliczamy całkę z funkcji i dostajemy w wyniku tego funkcję
  2. Obliczamy wartość tej funkcji w konkretnym punkcie

…a jest to jakby trochę „na odwrót” niż w pochodnych bywało.

Uwaga 2

Stała C w całce nieoznaczonej ma sens w obu interpretacjach pochodnej (pochodna jako prędkość w punkcie i jako tangens nachylenia stycznej). Rzeczywiście, zastanówmy się:

  1. W pierwszej interpretacji pochodnej, wyobraźmy sobie, że mamy daną całą wiedzę o tym, jak zmieniała się prędkość sanek w czasie. Możemy na tej podstawie zrekonstruować, jak zmieniała się droga w czasie ruchu, kiedy sanki przebyły 10 metrów, a kiedy 100. NIE MOŻEMY jednak stwierdzić, gdzie sanki zaczęły swój ruch, czy w połowie górki, czy na szczycie górki, czy w Białymstoku. Te różne położenia początkowe sanek różnią się właśnie o stałą C – na przykład w metrach.
  2. W drugiej interpretacji pochodnej, wyobraźmy sobie, że mamy narysowane na wykresie wszystkie styczne do krzywej w każdym punkcie. Czy kąty nachylenia tych stycznych (a one właśnie wyznaczają pochodną) zmienią się, jeżeli wykres podniesiemy o 4 jednostki w górę, albo o kilka w dół? Oczywiście nie. Wszystkie takie wykresy funkcji, identyczne, ale różniące się położeniem góra-dół to właśnie funkcje pierwotne różniące się o stałą C.

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

KONIEC

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jaki jest związek pomiędzy całką nieoznaczoną, a obliczaniem pola (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach nieoznaczonych

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

5 komentarzy na “Co to jest całka nieoznaczona?”

  1. Robert Robac Suchar Cichocki 8 lutego 2015 o 14:24 Link do komentarza

    Wszystko pięknie wytłumaczone tylko to „nie”, mnie dobija.

  2. Kasia 4 października 2016 o 10:51 Link do komentarza

    Super robota! Masz talent 🙂

  3. adrino 6 lutego 2017 o 15:30 Link do komentarza

    Super wykłady :)) !!Jak można opisać całkę tutaj tak samo jak Pan to opisywał przy pochodnych gdzie liczyliśmy kalkulatorem coraz mniejsze przyrosty aż uzyskaliśmy prędkość chwilową?Tam mieliśmy różnicę. Tutaj mamy sumę bo tak mówi symbol całki więc jak to przedstawić?? Mówi się że przykładowa funkcja została scałkowana czyli jak samemu można to taką metodą za pomocą kalkulatora dokonać BEZ KONIECZNOSCI używania gotowych wzorów na całki??

Dodaj komentarz