Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Co to są asymptoty pionowe i poziome?

 

Asymptoty Wykład 1

 

Temat: Asymptoty – definicja

 

Streszczenie

W artykule zdefiniujemy granice funkcji rozbiegające do nieskończoności w argumentach, lub w wartościach. Będziemy definiować je przy pomocy ciągów (wykorzystując więc jakby definicję Heine’go). Przedstawimy także, jaki jest ich bezpośrednie przełożenie na asymptoty pionowe i poziome wykresu funkcji.

Potrzebne nam będą:

  • definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji

Granice funkcji z nieskończonością w wyniku i argumentach dążących do liczby (asymptoty pionowe wykresu)

Wyobraźmy sobie sytuację jak na wykresie:

Wykres funkcji z asymptotą pionową prawostronnąJest to fragment wykresu funkcji f(x)=1/{x-1}. Widzimy, że przy argumentach x zbliżających się do 1 z prawej strony odpowiadające im wartości funkcji są coraz większe i większe – rozbiegają w nieskończoność. W sposób ścisły napisało by się, że:

Jeżeli dla każdego ciągu argumentów dążącego do x_0 z prawej strony odpowiadający im ciąg wartości rozbiega w nieskończoność (lub minus nieskończoność), mówimy, że funkcja w tym punkcie ma granicę nieskończoną prawostronną, co zapisać można jako:

{lim}under{x{right}{x_0}^+}f(x)={+infty}(~-infty)

Z wykresu wynika wyraźnie, że interpretacja geometryczna istnienia takiej granicy jest prosta: wykres ma asymptotę pionową prawostronną (prostą, do której jakby „zbliża się” wykres z prawej strony) o równaniu x=a.

Nietrudno wyobrazić sobie asymptotę pionową lewostronną: była by to granica nieskończona lewostronna, tzn. ciągi argumentów z definicji zbiegały by do x_0 z lewej strony.

Definicja ogólnej granicy nieskończonej z funkcji w punkcie (czyli asymptoty pionowej obustronnej na wykresie) wyglądała by tak:

Jeżeli dla każdego ciągu argumentów dążącego do x_0 z odpowiadający im ciąg wartości rozbiega w nieskończoność (lub minus nieskończoność), mówimy, że funkcja w tym punkcie ma granicę nieskończoną, co zapisać można jako:

{lim}under{x{right}{x_0}}f(x)={+infty}(~-infty)

Ciekawym przypadkiem jest granica funkcji, która na przykład z lewej strony wychodzi ~-infty, a z prawej +infty.

Wtedy granica funkcji w punkcie nie istnieje (granica lewostronna i prawostronna wyszły różne) – ale asymptota pionowa obustronna jak najbardziej (bo asymptoty pionowa lewo i prawostronna istnieją). Na wykresie wyglądać by to mogło tak:

Asymptota obustronna

 

Granice funkcji przy argumentach rozbiegających w +infty (lub ~-infty) – asymptoty poziome

Weźmy znowu sytuację jak na wykresie:

Asymptota poziomaZauważmy, że przy argumentach x rozbiegających w nieskończoność odpowiadające im wartości zbiegają do liczby ‚a’. Ściślej napisało by się:

Funkcja osiąga granicę a przy x dążącym do +infty(~-infty), jeżeli dla każdego ciągu argumentów rozbiegającego w +infty(~-infty) odpowiadający mu ciąg wartości zbiega do a, co można zapisać jako

{lim}under{x{right}{infty}(~-infty)}f(x)=a

Tego typu sytuacje mają swoją interpretację geometryczną na wykresie jako „asymptoty poziome wykresu funkcji” – czyli proste poziome, do których „przybliża” się wykres funkcji przy x dążącym do plus lub minus nieskończoności.

Kliknij, aby zobaczyć, jak zdefiniować asymptoty ukośne (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

2 komentarze na “Co to są asymptoty pionowe i poziome?”

  1. Julka 21 maja 2014 o 15:03 Link do komentarza

    Witam.
    Muszę zbadać funkcje y=xlnx , oczywiście pochodne potrafię policzyć oraz dziedzinę ale nie mam pojęcia jak zabrać się za dalszą część.
    Czy mogę prosić o pomoc ??

  2. gość 20 czerwca 2014 o 13:20 Link do komentarza

    Bardzo dobrze wyjaśnione. dzięki.

Dodaj komentarz